Trace Equivalence vs LTL Equivalence

Tôi đang tìm kiếm một ví dụ dễ dàng về hai hệ thống chuyển tiếp tương đương LTL, nhưng không theo dõi tương đương.

Tôi đã đọc bằng chứng về Trace Equivalence tốt hơn LTL Equivalence trong cuốn sách "Nguyên tắc kiểm tra mô hình" (Baier / Katoen) nhưng tôi không chắc là tôi thực sự hiểu nó. Tôi không thể hình dung nó, có thể có một ví dụ đơn giản có thể hình dung sự khác biệt?

Đọc Baier và Katoen chặt chẽ, họ đang xem xét cả hệ thống chuyển tiếp hữu hạn và vô hạn. Xem trang 20 của cuốn sách đó để biết định nghĩa.

Đầu tiên, lấy hệ thống chuyển tiếp đơn giản :$EVEN$

Bổ đề: Không có công thức LTL nào nhận ra ngôn ngữ Dấu vết ( E V E N ) . Một chuỗi c ∈ L e v e n iff c i = a cho chẵn i . Xem Wolper '81 . Bạn có thể chứng minh điều này bằng cách hiển thị đầu tiên mà không có công thức LTL với n khai thác "bên cạnh thời gian" có thể phân biệt các chuỗi có dạng p i ¬ p p $L_{even} =$$(EVEN)$$c \in L_{even}$$c_i = a$$i$$n$$p^i\neg p p^\omega$ cho $i> n$, bằng một cảm ứng đơn giản.

Hãy xem xét hệ thống chuyển tiếp (vô hạn, không xác định) sau đây . Lưu ý rằng có hai trạng thái ban đầu khác nhau:$NOTEVEN$

Dấu vết của nó là chính xác .$\{a,\neg a\}^\omega - L_{even}$

Hệ luỵ đến Bổ đề: Nếu sau đó E V $NOTEVEN \vDash \phi$$EVEN \not\vDash \neg\phi$

Bây giờ, hãy xem xét hệ thống chuyển đổi đơn giản này :$TOTAL$

Dấu vết của nó rõ ràng là .$\{a,\neg a\}^\omega$

Do đó, và T O T A L không có dấu vết tương đương. Giả sử chúng không tương đương LTL. Sau đó chúng ta sẽ có một công thức LTL φ như vậy N O T E V E N ⊨ φ và T O T A L ⊭ φ . Nhưng sau đó, E V E N ⊨ ¬ φ . Đây là một mâu thuẫn.$NOTEVEN$$TOTAL$$\phi$$NOTEVEN \vDash \phi$$TOTAL \not\vDash \phi$$EVEN\vDash \neg\phi$

Cảm ơn Sylvain vì đã bắt được một lỗi ngu ngốc trong phiên bản đầu tiên của câu trả lời này.

Nếu định nghĩa LTL của bạn bao gồm toán tử "tiếp theo", thì áp dụng sau đây. Bạn có hai bộ dấu vết và B . Hãy b được bất kỳ tiền tố hữu hạn của một dấu vết trong B . b cũng phải là tiền tố hữu hạn của dấu vết trong $A$$B$$b$$B$$b$$A$ , vì nếu không, bạn có thể chuyển đổi nó thành công thức chỉ là một chuỗi các toán tử tiếp theo phát hiện sự khác biệt. Do đó, mọi tiền tố hữu hạn của một -word cần phải là tiền tố hữu hạn của một từ A và ngược lại. Điều này có nghĩa là nếu A ≠ B , cần phải có một từ trong b để tất cả các tiền tố hữu hạn của nó xuất hiện trong A nhưng$B$$A$$A \not= B$$b$$A$ tự nó không xuất hiện trong một . Nếu A và B được tạo ra bởicáchệ thống chuyển tiếphữu hạn,tôi nghĩ điều này là không thể. Giả sử hệ thống chuyển tiếp vô hạn, bạn có thể xác định$b$$A$$A$$B$

và B = A ∖ { w } nơi w được ví dụ như từ vô hạn một $A = \{a,b\}^\omega$$B = A \setminus \{w\}$$w$ .$aba^2b^2a^3b^3a^4b^4\cdots$

Bất kỳ công thức LTL chứa phổ biến cho sẽ tổ chức phổ biến cho B vì B là một tập hợp con của A . Bất kỳ công thức LTL nào giữ cho B cũng giữ cho A ; vì mâu thuẫn, giả sử không, nhưng điều đó giữ cho mọi yếu tố của B (tức là cho mọi yếu tố của vũ trụ mong đợi cho từ w ) nhưng không phải cho w . Sau đó ¬ φ để đánh giá đúng trên w như mọi automaton Buchi rằng chỉ chấp nhận một từ vô hạn phải được nghiêm túc theo chu kỳ trong khi w thì không.$A$$B$$B$$A$$B$$A$$\varphi$$B$$w$$w$$\neg\varphi$$w$ nhưng không phải trên bất kỳ từ nào khác của vũ trụ (và LTL được đóng dưới phủ định), và không có công thức LTL mà có thể là sự thật duy nhất cho $w$$w$