Là loại đề xuất? (Các loại chính xác là gì?)

Tôi đã đọc rất nhiều về các hệ thống loại và như vậy và tôi hiểu đại khái tại sao chúng được giới thiệu (để giải quyết nghịch lý của Russel). Tôi cũng hiểu đại khái về sự phù hợp thực tế của chúng trong các ngôn ngữ lập trình và hệ thống chứng minh. Tuy nhiên, tôi không hoàn toàn tin tưởng rằng quan niệm trực quan của tôi về loại là gì, là chính xác.

Câu hỏi của tôi là, nó có hợp lệ để tuyên bố rằng các loại là các mệnh đề?

Nói cách khác, câu lệnh "n là số tự nhiên" tương ứng với câu lệnh "n có loại" số tự nhiên "" nghĩa là tất cả các quy tắc đại số liên quan đến số tự nhiên giữ cho n. (Tức là nói một cách khác, các quy tắc đại số là các câu lệnh. Những câu lệnh đúng với số tự nhiên cũng đúng với n.)

Vậy thì điều này có nghĩa là một đối tượng toán học có thể có nhiều hơn một loại?

Hơn nữa, tôi biết rằng các bộ không tương đương với các loại vì bạn không thể có một bộ tất cả các bộ. Tôi có thể khẳng định rằng nếu một tập hợp là một đối tượng toán học tương tự như một số hoặc một hàm , một kiểu là một loại đối tượng siêu toán học và theo cùng một logic, một loại là một đối tượng siêu toán học? (theo nghĩa là mọi "meta" biểu thị mức độ trừu tượng cao hơn ...)

Điều này có một số loại liên kết đến lý thuyết thể loại?

Vai trò chính của các loại là phân vùng các đối tượng quan tâm thành các vũ trụ khác nhau, thay vì xem xét mọi thứ tồn tại trong một vũ trụ. Ban đầu, các loại đã được nghĩ ra để tránh nghịch lý, nhưng như bạn biết, chúng có nhiều ứng dụng khác. Các loại đưa ra một cách phân loại hoặc phân tầng các đối tượng (xem mục blog ).

Một số làm việc với khẩu hiệu rằng các mệnh đề là các loại , do đó trực giác của bạn chắc chắn phục vụ tốt cho bạn, mặc dù có những công việc như Đề xuất như [Các loại] của Steve Awodey và Andrej Bauer lập luận khác, cụ thể là mỗi loại có một đề xuất liên quan. Sự khác biệt được thực hiện bởi vì các loại có nội dung tính toán, trong khi các mệnh đề thì không.

Một đối tượng có thể có nhiều hơn một loại do phân nhóm và thông qua các kiểu ép buộc .

Các loại thường được tổ chức theo một hệ thống phân cấp, trong đó các loại đóng vai trò của các loại, nhưng tôi sẽ không đi xa hơn khi nói rằng các loại là siêu toán học. Mọi thứ đang diễn ra ở cùng một cấp độ - điều này đặc biệt là khi xử lý các loại phụ thuộc .

Có một liên kết rất mạnh giữa các loại và lý thuyết thể loại. Thật vậy, Bob Harper (trích dẫn Lambek) nói rằng Logics, Languages ​​(nơi các loại cư trú) và Thể loại tạo thành một bộ ba thần thánh . Trích dẫn:

Ba khía cạnh này làm phát sinh ba giáo phái: Logic, mang lại tính ưu việt cho các bằng chứng và mệnh đề; Ngôn ngữ, mang lại tính ưu việt cho các chương trình và loại hình; Thể loại, cung cấp tính ưu việt cho ánh xạ và cấu trúc.

Bạn nên nhìn vào Tương ứng Curry-Howard để thấy mối liên kết giữa Logic và Ngôn ngữ lập trình (các loại là mệnh đề) và Danh mục đóng của Cartesian , để xem mối quan hệ giữa Lý thuyết danh mục.