Tiệm cận thay đổi tiền xu

Cho mệnh giá tiền xu, với và là các số ngẫu nhiên phân bố đồng đều trong phạm vi . Không có triệu chứng, thuật toán tham lam tạo ra sự thay đổi tối ưu bằng cách sử dụng bộ mệnh giá này? $n$ $c_1=1$ $c_2<c_3<..<c_{n}$ $[2,N]$

Câu trả lời được biết với 3 mệnh giá ; Nhưng những gì về trường hợp chung?

ds.algorithms

— Ganesh
nguồn

Thiết lập xác suất cho 4 mệnh giá được đặt ra bởi Thane Plambeck, người cũng cung cấp một biểu thức cho xác suất cho 3 mệnh giá (xem liên kết do OP cung cấp). OP đang hỏi một câu hỏi chung hơn về hành vi tiệm cận của xác suất này. Điều này có lẽ phù hợp hơn với math.SE và MO, với thẻ tiệm cận. @Ganesh: Động lực TCS của bạn là gì, hoặc lý do cho thẻ DS.alacticms là gì?

— András Salamon

@ Andras, đây là một vấn đề lý thuyết phức tạp. Chẳng hạn, nếu cách tiếp cận tham lam đạt được giải pháp tối ưu chiếm 90% thời gian, tôi cũng có thể quên lập trình động và giải quyết các giải pháp tối ưu trong 10% thời gian còn lại. Có lẽ điều này phù hợp hơn ở môn Toán. *, Nhưng động lực nằm ở TCS. Cuối cùng, "thẻ bên phải" đã thoát khỏi tôi - vì vậy tôi nghĩ rằng thuật toán mã hóa là xấp xỉ tốt nhất.

— Ganesh

Đây không phải là một câu trả lời nhưng có lẽ điều này sẽ chỉ cho bạn hoặc người khác đi đúng hướng.

Tôi tìm thấy bài báo của D. Kozen và S. Zaks gọi là "Giới hạn tối ưu cho vấn đề thay đổi" trong đó họ đưa ra các điều kiện khi thuật toán tạo thay đổi tham lam của một ví dụ thay đổi là tối ưu. Tôi sẽ sử dụng ký hiệu của họ.

Cho một ví dụ thay đổi xu của đồng tiền riêng biệt một hàm biểu thị số lượng tiền tối ưu cần thiết để thực hiện thay đổi cho và hàm $m$
$(c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{m - 1}, c_{m})$ $( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$ $c_{1} = = 1 < c_{2} < c_{3} < \dots < c_{m - 1} < c_{m}$ $c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$ $M(x)$ $x$ đại diện cho số tiền cần thiết để tham lam làm thay đổi đối với , sau đó nếu , tồn tại một phản ví dụ trong phạm vi $G(x)$ $x$ $M(x) \ne G(x)$ $c_{3} + 1 < x < c_{m - 1} + c_{m}$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

Họ tiếp tục thể hiện rằng

Nếu với mọi trong phạm vi thì (tức là thuật toán tham lam là tối ưu). $x$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$
$G (x) \leq G (x - c) + 1$ $G(x) \le G(x-c) + 1$ $c \in (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m})$ $c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$ $G(x) = M(x)$

Điều này cung cấp cho chúng tôi một thử nghiệm "hiệu quả" (tối đa thời gian giả đa thức) để xác định xem một trường hợp thay đổi tiền xu có tham lam hay không.

Sử dụng ở trên, tôi đã chạy một mô phỏng ngắn các kết quả được vẽ trên thang đo log-log bên dưới

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Mỗi điểm đại diện cho trung bình 10000 sáng tạo cá thể cho được hiển thị và mỗi yếu tố được chọn là khác biệt nhưng đồng nhất và ngẫu nhiên trong phạm vi . $m$ $[1 \cdots N]$

Cho rằng chúng ta biết xác suất của thuật toán tham lam là tối ưu cho là $m=3$ $\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

p_{m} (N) α N^{- \frac{(m - 2)}{2}}

$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$

$p_m(N)$ $m$ $N$

$m$ $N$

$(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$ ) mà dường như không được phân phối đồng đều. Có lẽ nhìn vào các phân phối khác để tạo ra các mệnh giá tiền xu sẽ mang lại kết quả không hề nhỏ trong giới hạn hệ thống lớn. Ví dụ: phân phối luật quyền lực có thể mang lại các mệnh giá tiền xu giống với Hoa Kỳ hơn.

— người dùng834
nguồn