Không gian hiệu quả

Tôi đang tìm kiếm các bộ mở rộng không cân bằng là "tốt" và "hiệu quả không gian". Cụ thể, một đồ thị hai cực trái thường xuyên $G=(A,B,E)$ , , , với độ trái là một khai thác nếu cho bất kỳ có kích thước tối đa , số lượng lân cận khác biệt của trong ít nhất là. Được biết, phương pháp xác suất mang lại một biểu đồ như vậy với và$|A|=n$$|B|=m$$d$$(k,\epsilon)$$S \subset A$$k$$S$$B$$(1-\epsilon)d|S|$$d=O(\log (n/k)/\epsilon)$$m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$. Tuy nhiên, người ta cần không gian để lưu trữ một biểu đồ như vậy. Ngoài ra, người ta cũng cần truy cập vào bộ lưu trữ này khi làm bất cứ điều gì với biểu đồ, cũng có thể có giá. Lý tưởng nhất, người ta muốn một công trình rõ ràng. Tuy nhiên, theo như tôi biết, các công trình đã biết đạt được các tham số vẫn còn hơi xa so với ở trên (ít nhất là có thể chứng minh được).$O(n d)$

Câu hỏi của tôi: có bất kỳ công trình nào khác, có thể không rõ ràng, đạt được giới hạn "gần" hơn với các công trình trên, nhưng sử dụng "ít hơn đáng kể" so với không gian không?$O(nd)$

Tôi đang tìm kiếm câu trả lời trong bất kỳ một trong ba loại sau: (a) định lý (b) phỏng đoán (c) quan sát và "câu chuyện chiến tranh" như "chúng tôi đã làm điều này và nó dường như hoạt động (loại)". Tức là, các bộ mở rộng "công nghiệp" đều ổn. Tôi thích (a) hơn (b) và (b) hơn (c), nhưng những người ăn xin không thể là người lựa chọn :)

Dưới đây là một ví dụ về việc xây dựng loại (c). Lấy hàm băm tuyến tính ngẫu nhiên (mod ) và kết nối từng đỉnh với . Tôi và học sinh của tôi đã làm một số thí nghiệm về nó, và nó dường như hoạt động "tốt". Có bất kỳ định lý hoặc phỏng đoán về điều này hoặc các công trình liên quan?h i : [ n ] → [ m ] m i h 1 ( i ) ... h d ( i $d$$h_i: [n] \to [m]$$m$$i$$h_1(i) \ldots h_d(i)$

Cảm ơn!

Eickmeyer và Grohe (2010) chứng minh rằng việc xây dựng ứng cử viên của bạn có thể được thực hiện rõ ràng: mất hơi tuyến tính độc lập hàm băm tuyến tính h 1 , ... , h d và đỉnh kết nối trái v với đỉnh đúng h 1 ( v ) , ... , h d ( v ) . Eickmeyer và Grohe cho thấy xây dựng này cung cấp cho ( k , ε ) -expanders với độ trái d = k ( t - 1 $d$$h_1,\dots,h_d$$v$$h_1(v),\dots,h_d(v)$$(k,\epsilon)$ , bất cứ khi nào t là số nguyên, tập đỉnh bên trái có kích thước n = q t , tập đỉnh bên phải có kích thước m = d q và q > d là công suất nguyên tố. Các hàm băm h 1 , chụp , h d được chọn theo cách sao cho bất kỳ t nàotrong số chúng là độc lập tuyến tính.$d=k(t-1)/(2\epsilon)$$t$$n=q^t$$m=dq$$q>d$$h_1,\dots,h_d$$t$

Tôi nghĩ rằng việc xem các cuộc khảo sát / nói chuyện của Avi Wigderson có thể giúp ích cho câu hỏi của bạn. Dưới đây là các slide từ một cuộc nói chuyện gần đây: Hướng dẫn Expander, tháng 6 năm 2010 . Công trình bắt đầu ở trang 40.

Về độ phức tạp không gian, tôi nghĩ nó có thể hữu ích nếu bạn chỉ định các thao tác bạn cần thực hiện trên biểu đồ. Nếu tôi không nhầm, một số công trình cho phép hoạt động như tính toán vùng lân cận trong logspace.