Định lý điểm cố định cho không gian số liệu xây dựng?

Định lý điểm cố định của Banach nói rằng nếu chúng ta có một không gian số liệu hoàn chỉnh không trống , thì bất kỳ hàm hợp đồng thống nhất nào nó có một điểm cố định duy nhất . Tuy nhiên, bằng chứng của định lý này đòi hỏi tiên đề của sự lựa chọn - chúng ta cần chọn một phần tử tùy ý để bắt đầu lặp lại , để có được chuỗi Cauchy . $A$$f : A \to A$$\mu(f)$$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. Làm thế nào là các định lý điểm cố định được nêu trong phân tích xây dựng?
2. Ngoài ra, có bất kỳ tài liệu tham khảo ngắn gọn cho không gian số liệu xây dựng?

Lý do tôi hỏi là tôi muốn xây dựng một mô hình của Hệ thống F trong đó các loại bổ sung cấu trúc số liệu (trong số những thứ khác). Điều khá hữu ích là trong lý thuyết tập hợp mang tính xây dựng, chúng ta có thể nấu một họ các tập hợp , sao cho được đóng dưới các sản phẩm, hàm mũ và các họ , giúp dễ dàng đưa ra mô hình của Hệ thống F.$U$$U$$U$

Sẽ rất tuyệt nếu tôi có thể nấu một gia đình không gian siêu hình tương tự. Nhưng vì việc thêm sự lựa chọn vào lý thuyết tập hợp xây dựng làm cho nó trở nên cổ điển, rõ ràng tôi cần cẩn thận hơn về các định lý điểm cố định, và có lẽ các công cụ khác cũng vậy.

Tiên đề của sự lựa chọn được sử dụng khi có một tập hợp các "thứ" và bạn chọn một yếu tố cho mỗi "thứ". Nếu chỉ có một thứ trong bộ sưu tập, đó không phải là tiên đề của sự lựa chọn. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi chỉ có một không gian số liệu và chúng tôi đang "chọn" một điểm trong đó. Vì vậy, đó không phải là tiên đề chọn nhưng loại bỏ các quantifiers hiện sinh, tức là, chúng ta có một giả thuyết và chúng ta nói "hãy để x ∈ A được như vậy mà φ ( x ) ". Thật không may, mọi người thường nói "$\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$ ", sau đó trông giống như ứng dụng của tiên đề của sự lựa chọn.$\phi(x)$

Để tham khảo, đây là một bằng chứng mang tính xây dựng của định lý điểm cố định của Banach.

Định lý: Một sự co lại trên một không gian số liệu hoàn chỉnh có người ở có một điểm cố định duy nhất.

Bằng chứng. Giả sử là một không gian số liệu hoàn chỉnh có người ở và f : M → M là một sự co lại. Vì f là dạng rút tồn tại α mà 0 < α < 1 và d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , y ) cho tất cả x , y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$.

Giả sử và v là điểm cố định của f . Khi đó ta có d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ) từ đó theo đó 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) $u$$v$$f$

$$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$$ , do đó d ( u , v ) = 0 và u = v . Điều này chứng tỏ rằng f có nhiều nhất một điểm cố định.$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$$d(u,v) = 0$$u = v$$f$

Nó vẫn còn để chứng minh sự tồn tại của một điểm cố định. Vì là nơi sinh sống có tồn tại x 0 ∈ M . Xác định chuỗi ( x i ) đệ quy theo x i + 1 = f ( x i ) . Chúng ta có thể chứng minh bằng cảm ứng rằng d ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) . Từ đó nó đi theo$M$$x_0 \in M$$(x_i)$

$$x_{i+1} = f(x_i).$$ $d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$ là một chuỗi Cauchy. Vì M đã hoàn thành nên dãy có giới hạn y = lim i x i . Vì f là một cơn co, nó liên tục đồng đều và do đó nó đi lại với các giới hạn của chuỗi: f ( y ) = f ( lim i x i ) = lim i f ( x i ) = lim i x i + 1 = lim i x $(x_i)$$M$$y = \lim_i x_i$$f$ Do đó y là một điểm cố định của f . QED $$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$$ $y$$f$

Nhận xét:

1. Tôi đã cẩn thận không nói "chọn " và "chọn x 0 ". Người ta thường nói những điều như vậy, và họ chỉ thêm vào sự nhầm lẫn ngăn cản các nhà toán học thông thường không thể nói được điều gì và không phải là tiên đề của sự lựa chọn.$\alpha$$x_0$

2. $u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. $(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. $\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. Cuối cùng, các định lý điểm cố định sau có các phiên bản mang tính xây dựng:

   • Định lý điểm cố định Knaster-Tarski cho các bản đồ đơn điệu trên các mạng hoàn chỉnh
   • Định lý điểm cố định của Banach cho các cơn co thắt trên một không gian số liệu hoàn chỉnh
   • Định lý điểm cố định Knaster-Tarski cho các bản đồ đơn điệu trên dcpose (được chứng minh bởi Pataraia)
   • Các định lý điểm cố định khác nhau trong lý thuyết miền thường có bằng chứng xây dựng
   • Định lý đệ quy là một dạng của định lý điểm cố định và nó có một bằng chứng xây dựng
   • Tôi chứng minh định lý rằng Knaster-Tarski điểm cố định cho các bản đồ đơn điệu trên dây chuyền hoàn tất posets không không có một bằng chứng mang tính xây dựng. Tương tự, định lý điểm cố định Bourbaki-Witt cho các bản đồ lũy tiến trên các bộ hoàn chỉnh chuỗi không thành công về mặt xây dựng. Ví dụ ngược lại cho cái sau xuất phát từ các topos hiệu quả: trong các thứ tự topos hiệu quả (được xác định phù hợp) tạo thành một tập hợp và các bản đồ kế tiếp là lũy tiến và không có điểm cố định. Nhân tiện, bản đồ kế vị trên các giáo phẩm không phải là đơn điệu trong topos hiệu quả.

Bây giờ đó là nhiều thông tin hơn bạn yêu cầu.