Kết quả trong lý thuyết CS độc lập với ZFC

Tôi sẽ hỏi một câu hỏi khá mơ hồ, vì ranh giới giữa khoa học máy tính lý thuyết và toán học không phải lúc nào cũng dễ phân biệt.

CÂU HỎI: Bạn có biết về bất kỳ kết quả thú vị nào trong CS độc lập với ZFC (tức là lý thuyết tập hợp tiêu chuẩn), hoặc điều đó đã được chứng minh ban đầu trong ZFC (+ một số tiên đề khác) và chỉ sau đó được chứng minh trong ZFC alorne?

Tôi đang hỏi bởi vì tôi sắp hoàn thành luận án tiến sĩ và kết quả chính của tôi (tính quyết định của một loại trò chơi được sử dụng để đưa ra "ngữ nghĩa trò chơi" cho một phương thức xác suất -calculus) tại thời điểm đã được chứng minh trong ZFC mở rộng với các Tiên đề khác (cụ thể là phủ định giả thuyết Continuum và, Axiom của Martin ).¬ C H M $\mu$$\neg CH$$MA$

Vì vậy, cài đặt rõ ràng là Khoa học Máy tính (phương thức -calculus là logic tạm thời và tôi đang mở rộng nó để hoạt động với các hệ thống xác suất).$\mu$

Tôi muốn trích dẫn trong luận án của tôi các ví dụ khác (nếu bạn biết về bất kỳ) loại này.

Cảm ơn bạn trước

tạm biệt

Matteo

Mặc dù tôi không biết về bất kỳ kết quả nào như vậy, ngoài chính kết quả của bạn, tôi nghĩ bạn có thể mở rộng phạm vi phần nào và hỏi: kết quả nào trong TCS đã được chứng minh bằng cách sử dụng (bất kỳ loại) tiên đề không chuẩn nào. Theo phi tiêu chuẩn ở đây tôi có nghĩa là một cái gì đó khác với logic cổ điển với ZF (hoặc ZFC).

Một ví dụ tuyệt vời về loại công việc tôi có trong đầu là kết quả của Alex Simpson về các thuộc tính của ngôn ngữ lập trình sử dụng lý thuyết miền tổng hợp. Ông sử dụng lý thuyết tập hợp trực giác với các tiên đề mâu thuẫn với logic cổ điển.

Ngoài ra, Alex và tôi đã sử dụng các tiên đề trực giác với các nguyên tắc liên tục chống cổ điển để hiển thị kết quả về tính toán của Banach-Mazur.

Tuy nhiên, không có ví dụ nào được đề cập có trạng thái "mở", như bằng chứng của bạn, bởi vì chúng tôi biết rằng các tiên đề không chuẩn mà chúng tôi sử dụng có thể được hiểu đơn giản là làm việc bên trong một mô hình toán học trực giác, nơi mô hình có thể được hiển thị để tồn tại trong ZFC. Vì vậy, thiết lập không chuẩn thực sự là một cách để hoàn thành công việc một cách thanh lịch hơn và về nguyên tắc, chúng có thể được thực hiện trong ZFC thẳng (mặc dù tôi sợ nghĩ về việc chính xác sẽ diễn ra như thế nào).

Nó phụ thuộc vào định nghĩa của bạn về "Khoa học máy tính". Lấy ví dụ dưới đây - nó có tính không?

$\mathbb{N}$C 2 | C 1 ( n ) | - | C 2 ( n ) | → - ∞ L C 1$C_1$$C_2$$|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$$L$$C_1$$L$

Một tập hợp các mã được gọi là cofinal nếu cho tất cả các mã có một mã đó là tốt hơn so với . Nó được sắp xếp tốt nếu nó được sắp xếp tốt đối với "tốt hơn". Một thang đo là một bộ mã cofinal được sắp xếp tốt.C D ∈ S $S$$C$$D \in S$$C$

Đây là hai thuộc tính độc lập với ZFC:

1. Có tồn tại một quy mô của mã.
2. Tồn tại một quy mô của các mã đơn điệu (nghĩa là một bộ mã đơn điệu được sắp xếp hợp lý, là đồng bộ trong bộ tất cả các mã đơn điệu).

Một hình nón của độ Turing là một tập hợp của độ với một số cơ sở như vậy mà cho tất cả các độ , khi và chỉ khi .b ∈ D c b ≤ T c c ∈ $D$$b \in D$$c$$b \leq_T c$$c \in D$

Tuyên bố về xác định mức độ Turing :

Mỗi tập hợp độ Turing đều chứa hình nón hoặc tách rời khỏi hình nón

là hệ quả của tiên đề của tính xác định (AD), độc lập với ZF và không tương thích với ZFC. Tuyên bố yếu hơn

Mỗi tập hợp thực tế Borel được đóng dưới tương đương Turing đều chứa hình nón hoặc tách rời khỏi hình nón

là kết quả của định lý Martin về tính quyết định của Borel, điều này có thể chứng minh được trong ZFC. Cả hai tuyên bố này đều được nghiên cứu trước khi kết quả của Martin về tính quyết định của Borel đã được chứng minh, tại thời điểm đó người ta chỉ biết rằng cả hai đều có thể chứng minh được trong ZF + AD.

Kết quả được trích dẫn thứ hai có kết luận thú vị sau: giả sử là tập hợp thực tế Borel được đóng dưới mức tương đương Turing sao cho với mọi thực có một số với (điều này chỉ nói rằng dày lên trong độ Turing). Sau đó phải chứa toàn bộ hình nón độ Turing.b c ∈ S b ≤ T c S $S$$b$$c \in S$$b \leq_T c$$S$$S$

Gần đây tôi đã tham dự một cuộc nói chuyện với một kết quả như vậy, vì tính quyết định của các trò chơi Büchi một lượt: Olivier Finkel, Sự quyết định của các trò chơi không bối cảnh , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3399 / pdf / 5.pdf .

Rất nhiều toán học xây dựng. Xem công trình của Per Martin-Löf về lý thuyết tập hợp xây dựng, được sử dụng làm cơ sở cho các ngôn ngữ lập trình được gõ phụ thuộc.