Một hợp tuyển của các giả định phức tạp

Trong bài báo Giả thuyết ngẫu nhiên của Oracle là sai , các tác giả (Chang, Chor, Goldreich, Hartmanis, Håstad, Ranjan và Rohatgi) thảo luận về ý nghĩa của giả thuyết ngẫu nhiên . Họ lập luận rằng chúng ta biết rất ít về sự tách biệt giữa các lớp phức tạp và hầu hết các kết quả liên quan đến việc sử dụng các giả định hợp lý hoặc giả thuyết ngẫu nhiên. Giả định quan trọng nhất và được nhiều người tin là PH không sụp đổ. Theo cách nói của họ:

Theo một cách tiếp cận, chúng tôi giả sử như một giả thuyết hoạt động rằng PH có vô số cấp độ. Do đó, bất kỳ giả định nào ngụ ý rằng PH là hữu hạn đều được coi là không chính xác. Ví dụ: Karp và Lipton đã chỉ ra rằng nếu NP ⊆ P / poly, thì PH sụp đổ thành . Vì vậy, chúng tôi tin rằng SAT không có các mạch có kích thước đa thức. Tương tự, chúng tôi tin rằng các bộ hoàn chỉnh Turing và nhiều bộ một cho NP không thưa thớt, bởi vì Mahaney cho thấy những điều kiện này sẽ làm sụp đổ PH. Người ta thậm chí có thể chỉ ra rằng với mọi k ≥ 0, ngụ ý rằng PH là hữu hạn. Do đó, chúng tôi tin rằng$\Sigma^P_2$$P^{\mathrm{SAT}[k]} = P^{\mathrm{SAT}[k+1]}$$P^{\mathrm{SAT}[k]} \ne P^{\mathrm{SAT}[k+1]}$ với mọi k ≥ 0. Do đó, nếu hệ thống phân cấp đa thức thực sự là vô hạn, chúng ta có thể mô tả nhiều khía cạnh của độ phức tạp tính toán của NP.

Ngoài giả định về PH không sụp đổ, còn có nhiều giả định phức tạp khác. Ví dụ:

1. Yao coi giả định sau đây là hợp lý: .$RP \subseteq \bigcap\limits_{\epsilon > 0} DTIME(2^{n^\epsilon})$
2. Nisan và Wigderson đưa ra một số giả định liên quan đến việc derandomization.

Ý tưởng chính của câu hỏi này là tiêu đề của nó nói gì: Trở thành một tuyển tập của các giả định lý thuyết phức tạp. Sẽ thật tuyệt nếu các quy ước sau được tuân thủ (bất cứ khi nào có thể):

1. Giả định chính nó;
2. Bài báo đầu tiên trong đó giả định được thực hiện;
3. Kết quả thú vị trong đó giả định được sử dụng;
4. Nếu giả định đã từng bị bác bỏ / chứng minh, hoặc liệu tính hợp lý của nó đã từng được thảo luận chưa.

This post is meant to be a community wiki; if an assumption is already cited, please edit the post and add new information rather than making a new post.

Chỉnh sửa (31/10/2011): Một số giả định về mật mã và thông tin về chúng được liệt kê trong các trang web sau:

1. Wiki về nguyên thủy mật mã và các vấn đề khó khăn trong mật mã .
2. Các giả định về mật mã và các vấn đề khó khăn của Helger Lipmaa .

• Giả thiết: Giả thuyết thời gian theo cấp số nhân .
• Lần đầu tiên được trích dẫn trong: Trong khi là văn hóa dân gian, lần đầu tiên nó được chính thức hóa trong bài báo sau: Russell Impagliazzo và Ramamohan Paturi. 1999. Độ phức tạp của k-SAT . Trong Kỷ yếu của Hội nghị IEEE thường niên lần thứ mười bốn về độ phức tạp tính toán ( COCO '99 ). Xã hội máy tính IEEE, Washington, DC, Hoa Kỳ, số 238-28.
• Sử dụng: Nó giả định rằng không có vấn đề hoàn thành NP nào có thể được quyết định trong thời gian theo cấp số nhân, và do đó ngụ ý rằng P ≠ NP.
• Tình trạng: Đang mở.

• Giả định : NP không có số đo p
• Đầu tiên được trích dẫn trong : Jack H. Lutz. Thể loại và đo lường trong các lớp phức tạp . SIAM J. Tính toán. 19: 1100-1131, 1990.
• Sử dụng (s) : Nếu thì và: $\mu_p(NP) \neq 0$$P \neq NP$
  1. Có một ngôn ngữ là cho NP nhưng không phải là cho NP [1];$\leq_T^p$$\leq_m^p$
  2. Có một cặp ngôn ngữ rời rạc trong NP không thể tách rời P [4];
  3. Với mọi , mọi ngôn ngữ dành cho NP dày đặc [3];$\alpha < 1$$\leq_{n^{\alpha}-tt}^p$
  4. Mỗi ngôn ngữ cho NP có lõi phức tạp theo cấp số nhân dày đặc [2];$\leq_m^p$
  5. NP chứa ngôn ngữ miễn dịch P-bi [3];
  6. $E \neq NE$ và ([1] - xem câu trả lời này để biết thêm hậu quả của ).$EE \neq NEE$$EE \neq NEE$

Theo như tôi biết, những hậu quả trên không được biết đến chỉ dựa trên giả định rằng .$P \neq NP$

• Trạng thái : Đang mở

[1] J. Lutz và E. Mayordomo. Cook so với Karp / Levin: tách các khái niệm hoàn thành nếu NP không nhỏ . Định lý. Comp. Khoa học 164: 141-163, 1996.

[2] D. Juedez và J. Lutz. Sự phức tạp và phân phối các vấn đề khó khăn . SIAM J. Tính 24 (2): 279-295, 1995.

[3] E. Mayordomo. Hầu như mọi thiết lập trong thời gian theo cấp số nhân là P-bi-immun . Định lý. Comp. Khoa học 136: 487-506, 1994.

[4] L. Fortnow, J. Lutz và E. Mayordomo. Không thể tách rời và các giả thuyết mạnh mẽ cho các cặp NP rời rạc . Trong Jean-Yves Marion và Thomas Schwentick, các biên tập viên, Kỷ yếu Hội thảo lần thứ 27 về các khía cạnh lý thuyết của Khoa học máy tính, tập 5 của Kỷ yếu quốc tế về tin học (LIPIcs), trang 395-404. Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik, Dagstuhl, Đức, 2010.

• Giả định: nee ≠ EE .
• Đầu tiên được trích dẫn trong: Mihir Bellare và Shafi Goldwasser. 1994. Sự phức tạp của quyết định tìm kiếm Versus . SIAM J. Tính toán. 23, 1 (tháng 2 năm 1994), 97-119.
• Sử dụng: Nếu giả định được giữ, có tồn tại các vấn đề trong NP mà phiên bản tìm kiếm không (đa thức) Cook-giảm theo phiên bản quyết định của chúng. Nói cách khác, theo giả định đã cho, không phải tất cả các ngôn ngữ trong NP đều có thể tự giảm .
• Tình trạng: Đang mở.