Mà K là PLANAR NAE k-SAT trong P?

Các Not All Equal -SAT vấn đề (NAE -SAT), cho một tập C điều khoản trên một tập X của các biến boolean như vậy mà mỗi khoản có chứa ít nhất k literals, hỏi liệu có tồn tại một nhiệm vụ thật của các biến như vậy mỗi mệnh đề chứa ít nhất một đúng và ít nhất một nghĩa đen.$k$$k$$C$$X$$k$

Vấn đề NAR -SAT của PLANAR là sự hạn chế của NAE k -SAT đối với những trường hợp có đồ thị lưỡng cực của C và X (tức là đồ thị của các phần C và X có cạnh giữa x ∈ X và c ∈ C khi và chỉ nếu x hoặc ¯ x thuộc về c ), là mặt phẳng.$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

Được biết, NAE 3-SAT là NP-đầy đủ (Garey và Johnson, Máy tính và Độ hấp dẫn; Hướng dẫn về Lý thuyết hoàn thiện NP), nhưng PLANAR NAE 3-SAT nằm trong P (xem Planar NAE3SAT ở P, B Moret, ACM SIGACT News, Tập 19 Số 2, Mùa hè 1988 - thật không may, tôi không có quyền truy cập vào bài viết này).

Là PLANAR NAE -SAT trong P với một số k ≥ 4 ? Có giá trị k mà nó đã được hiển thị là NP-hoàn chỉnh không?$k$$k\geq 4$$k$

PLANAR NAE -SAT nằm trong P cho tất cả các giá trị của k .$k$$k$

Lý do là chúng ta có thể giảm PLANAR NAE -SAT xuống PLANAR NAE 3 -SAT. Hãy φ là một thể hiện của Phẳng NAE k -SAT, và giả sử φ chứa một điều khoản C với literals ℓ 1 , ℓ 2 , ... , ℓ k . Giới thiệu một biến mới v C và thay thế C bằng hai mệnh đề NAE C 1 và C 2 . C 1 chứa 3 literals ℓ 1 , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$Và , trong khi C 2 chứa k - 1 literals ˉ v C , ℓ 3 , ℓ 4 , ... , ℓ k . Thật dễ dàng để thấy rằng C là thỏa đáng nếu C 1 ∧ C 2 là và phép biến đổi bảo toàn tính phẳng. Bây giờ, chúng tôi liên tục có thể áp dụng phương pháp này vào các điều khoản để cuối cùng nhận được một cá φ ' của NAE 3 -SAT như mong muốn.$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$