Sự tồn tại của máy chủ khoảng cách phẳng?

Đặt G là đồ thị vô hướng của nút n và đặt T là tập con nút của V (G) được gọi là terminal . Một bộ bảo vệ khoảng cách của (G, T) là một đồ thị H thỏa mãn tính chất

cho tất cả các nút u, v trong T. (Lưu ý rằng H KHÔNG nhất thiết phải là sơ đồ con của G.)

Ví dụ, đặt G là đồ thị sau (a) và T là các nút ở mặt ngoài. Thì đồ thị (b) là một bộ bảo vệ khoảng cách của (G, T).

Khoảng cách bảo tồn với các thông số khác nhau được biết là tồn tại. Tôi đặc biệt quan tâm đến một trong những tính chất sau:

1. G là phẳng và không có trọng số (nghĩa là tất cả các cạnh của G có trọng số một),
2. T có kích thước $O(n^{0.5})$ và
3. H có kích thước (số nút và cạnh) $o(n)$ . (Sẽ thật tuyệt nếu chúng ta có $O(\frac{n}{\log\log n})$.)

Liệu một máy chủ khoảng cách như vậy tồn tại?

Nếu một người không thể đáp ứng các tính chất trên, bất kỳ loại thư giãn nào đều được hoan nghênh.

Người giới thiệu:

• Những người bảo vệ khoảng cách nguồn khôn ngoan và cặp khôn ngoan , Don Coppersmith và Michael Elkin, SIDMA, 2006.
• Người bảo vệ khoảng cách thưa thớt và người khai thác phụ gia , Béla Bollobás, Don Coppersmith và Michael Elkin, SIDMA, 2005.
• Spanners và giả lập với lỗi khoảng cách tuyến tính , Mikkel Thorup và Uri Zwick, SODA, 2006.
• Giới hạn thấp hơn cho Spanners phụ gia, Trình giả lập và hơn thế nữa , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

Khoảng cách bảo tồn cũng được gọi là một trình giả lập ; nhiều công việc liên quan có thể được tìm thấy trên internet bằng cách tìm kiếm thuật ngữ cờ lê , trong đó yêu cầu H phải là một sơ đồ con của G. Nhưng trong các ứng dụng của tôi, chúng ta có thể sử dụng các biểu đồ khác, miễn là H giữ khoảng cách giữa T trong G.

Nhiều năm sau, có vẻ như OP cuối cùng đã trả lời câu hỏi của chính mình: Trình mô phỏng khoảng cách gần tối ưu cho đồ thị phẳng của Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes và Oren Weimann vừa được đăng trên arxiv.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$

(Trên một ghi chú ít chính thức hơn, tôi thấy kết quả này thực sự tuyệt vời. Xin chúc mừng!)

bạn có thể muốn xem xét cờ lê tập hợp con phẳng của Klein, duy trì khoảng cách lên đến hệ số 1 + epsilon.

Một bộ mở rộng tập hợp con cho đồ thị phẳng, với ứng dụng cho tập hợp con TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620