Khái niệm quan trọng nhất về độ thưa thớt cho việc thiết kế các thuật toán đồ thị hiệu quả là gì?

Có một số khái niệm cạnh tranh của một "đồ thị thưa thớt". Ví dụ, một biểu đồ có thể nhúng bề mặt có thể được coi là thưa thớt. Hoặc một biểu đồ với mật độ cạnh giới hạn. Hoặc một biểu đồ với chu vi cao. Một đồ thị với sự mở rộng lớn. Một đồ thị với treewidth giới hạn. (Ngay cả trong trường con của các biểu đồ ngẫu nhiên, nó hơi mơ hồ về những gì có thể được gọi là thưa thớt.) Et cetera.

Khái niệm nào về "đồ thị thưa thớt" có ảnh hưởng lớn nhất đến việc thiết kế các thuật toán đồ thị hiệu quả, và tại sao? Tương tự, khái niệm nào về "đồ thị dày đặc" ...? (NB: Karpinki đã làm việc rất nhiều về kết quả gần đúng cho một mô hình chuẩn của đồ thị dày đặc.)

Tôi vừa xem một cuộc nói chuyện của J. Nesetril trong một chương trình của anh ấy (cùng với P. Ossona de Mendez) để nắm bắt các biện pháp về độ thưa thớt trong các biểu đồ trong khuôn khổ thống nhất (tiệm cận). Câu hỏi của tôi - vâng, có thể khá chủ quan và tôi mong đợi các trại khác nhau - được thúc đẩy bởi mong muốn nắm bắt một quan điểm đa diện về việc sử dụng sự thưa thớt trong các thuật toán (và cắm bất kỳ khoảng trống nào trong sự hiểu biết của tôi về vấn đề này).

Tôi nghĩ rằng theo bất kỳ tiêu chuẩn hợp lý nào, đồ thị lưới ba chiều n × n × n sẽ phải được coi là thưa thớt và quy định hầu hết các định nghĩa ứng cử viên liên quan đến nhúng hoặc bề mặt. (Tuy nhiên, treewidth vẫn có thể thực hiện được.)

Biện pháp thưa thớt yêu thích hiện tại của tôi là thoái hóa . Độ suy biến của đồ thị là mức tối thiểu, trên tất cả các thứ tự tuyến tính của các đỉnh của đồ thị, của độ lệch cực đại theo hướng xoay vòng có hướng của đồ thị được hình thành bằng cách định hướng từng cạnh từ các đỉnh trước đó sang các đỉnh sau theo thứ tự. Tương tự, đó là mức tối đa, trên tất cả các sơ đồ con, mức độ tối thiểu trong sơ đồ con. Vì vậy, ví dụ đồ thị phẳng có năm suy biến vì bất kỳ đồ thị con nào của đồ thị phẳng đều có đỉnh bằng nhiều nhất là năm. Độ suy biến rất dễ tính toán trong thời gian tuyến tính và thứ tự tuyến tính xuất phát từ định nghĩa rất hữu ích trong các thuật toán .

Sự thoái hóa nằm trong một yếu tố không đổi của một số biện pháp tiêu chuẩn khác bao gồm tính lưu động, độ dày và mức độ trung bình tối đa của bất kỳ biểu đồ con nào, nhưng chúng là những thứ khó sử dụng hơn.

Dường như có nhiều khái niệm "tốt" về độ thưa thớt, nhưng có một thứ gì đó có thứ bậc cho những khái niệm cấu trúc của sự thưa thớt có hương vị lý thuyết mô hình. Tôi nghĩ rằng những điều này đã có tác động mạnh mẽ đến các thuật toán đồ thị hiệu quả.

$k$$K_{k+2}$

Ghi chú khóa học của Anuj Dawar từ tháng 11 năm 2010 cũng thảo luận về treewidth giới hạn địa phương, không thể so sánh với trẻ vị thành niên bị loại trừ. Mức giới hạn xác định rõ ràng các biểu đồ thưa thớt và các biểu đồ như vậy đã giới hạn treewidth cục bộ, nhưng không thể xác định được bằng một tập hợp các vị thành niên bị loại trừ.

Tác động của mức độ giới hạn là rõ ràng: nó thường là một trong những hạn chế đầu tiên được đưa ra để làm cho một vấn đề khó có thể xử lý được, ví dụ như thuật toán của Luks đối với biểu đồ đẳng hình trên đồ thị mức giới hạn. Tác động của việc loại trừ trẻ vị thành niên cũng rất rõ ràng, ít nhất là trong vỏ bọc của treewidth bị ràng buộc (như Suresh đã chỉ ra).

Khái niệm về địa phương loại trừ một khái quát nhỏ cả treewidth giới hạn cục bộ và vị thành niên bị loại trừ, do đó hình thành lớp "chung nhất" trong hệ thống phân cấp. Tuy nhiên, vẫn chưa rõ làm thế nào để sử dụng tính chất này trong các thuật toán thực tế. Ngay cả trường hợp "dễ điều khiển" loại trừ trẻ vị thành niên cũng không nhất thiết phải có thuật toán thực tế tốt; hằng số lớn có rất nhiều trong các thuật toán lý thuyết mô hình. Tôi hy vọng một số các lớp này sẽ có các thuật toán thực sự hiệu quả trong thời gian dài.

Xem thêm câu trả lời của tôi những gì là dễ dàng cho đồ thị loại trừ nhỏ? cho ý kiến ​​liên quan thêm.

Tôi không thể nghĩ về bất kỳ thuộc tính đồ thị nào có ảnh hưởng nhiều đến việc thiết kế các thuật toán hiệu quả như giới hạn treewidth và tính hai chiều nói chung.

Người ta có thể nghĩ về một biểu đồ như một ma trận kề - có một số định nghĩa cho độ thưa của ma trận (ví dụ:% các mục nhập bằng 0) có thể dịch lại chính biểu đồ đó. Khác với% của các mục nhập bằng 0, băng thông ma trận theo sắp xếp lại có thể là một proxy tốt cho độ thưa của biểu đồ (có vẻ như băng thông có liên quan đến suy biến).