Tìm một mô hình hữu hạn

Tôi biết rằng câu hỏi "làm một công thức đơn hàng đầu tiên có một mô hình" là undecidable nói chung.$\phi$

Bất cứ ai có thể cho tôi một liên kết hoặc một cuốn sách đưa ra câu trả lời cho các mô hình hữu hạn. Nếu tôi có một trật tự công thức đầu tiên , là nó decidable liệu φ có một mô hình hữu hạn? Tôi khá chắc chắn rằng câu hỏi đã được biết đến, nhưng tôi thậm chí không biết bắt đầu tìm kiếm câu trả lời từ đâu. (Ví dụ, tôi đã dự kiến ​​nó sẽ nằm trong "Các yếu tố của lý thuyết mô hình hữu hạn" của Libkin, nhưng dường như tôi không thể tìm thấy nó.)$\phi$$\phi$

Phần thứ hai của câu hỏi của tôi là: Có những hạn chế đã biết sao cho vấn đề có thể quyết định được không?

Ví dụ, vấn đề có thể trở nên có thể quyết định đối với công thức bậc nhất chỉ với các vị từ đơn âm. Hoặc khi chúng ta có vị ngữ đơn điệu cộng với mối quan hệ kế thừa. Nhưng tôi không thể tưởng tượng một thuật toán để quyết định xem có tồn tại một mô hình (hữu hạn) trong các hạn chế đó không.

Phần đầu tiên của câu hỏi của bạn được trả lời bởi Định lý Trakhtenbrot . Phần thứ hai là một câu hỏi khá lớn. Tùy thuộc vào cấu trúc quan hệ bạn đang làm việc, nhiều giải pháp có thể được đưa ra. Ví dụ: nếu bạn quan tâm đến các ngôn ngữ chính thức, MSO trên các cấu trúc từ tương ứng với các ngôn ngữ thông thường và logic phù hợp ( xem phần này ) tương ứng với CFL và do đó có thể giải quyết được vấn đề thỏa đáng của chúng.

Bạn nên xem Chương 14 của Libkin, nơi các phân đoạn tốt đẹp của FO được chứng minh là có vấn đề thỏa mãn có thể quyết định, theo số lượng thay thế định lượng cho phép.

Tôi không biết câu trả lời cho các mảnh FO tùy ý. Logic phương thức cổ điển và các phần mở rộng của nó có một số thuộc tính có thể quyết định. Bằng các bản dịch tiêu chuẩn, bạn có được các đoạn logic cổ điển có chung các thuộc tính này.

1. Modal Logic và đoạn bất biến bisimulation của FOL hai biến.
2. CTL * và đoạn bisimulation bất biến của logic đường đơn.
3. Mu-tính toán và phân đoạn bất biến bisimulation của logic thứ hai Monadic.

Tất cả các logic phương thức ở trên là có thể quyết định và có thuộc tính mô hình hữu hạn. Các logic khác có đặc tính có thể phân hủy mạnh mẽ là các mảnh được bảo vệ của FO, các mảnh được bảo vệ lỏng lẻo và các logic logic cố định được bảo vệ. Các logic này được thiết kế để chuyển bản chất của các thuộc tính hoạt động tốt của logic phương thức sang một thiết lập logic cổ điển. Logic điểm cố định được bảo vệ là có thể quyết định nhưng không có thuộc tính mô hình hữu hạn.

Những gì sau đây không nên được coi là bất kỳ sự thật trong sách giáo khoa mà chỉ là đề xuất cho nghiên cứu sâu hơn của riêng bạn. Biên tập viên được chào đón để sửa chữa khi họ thấy phù hợp.

Đầu tiên, câu hỏi của bạn rõ ràng là mối quan tâm của cộng đồng Khấu trừ tự động. William McCune có một chương trình gọi là Mace4 để tìm kiếm các mô hình hữu hạn. Bạn có thể muốn đọc tài liệu mô tả cách thực hiện.

Đối với các hạn chế có thể quyết định cụ thể, bạn có thể muốn xem xét các điều sau:

1. Các trường hợp trong đó vũ trụ Herbrand là hữu hạn. Một cách cơ học để kiểm tra tập hợp con của các trường hợp này là kiểm tra xem công thức có bất kỳ ký hiệu hàm nào không. Nếu không, Vũ trụ Herbrand là hữu hạn.

2. Các trường hợp có thể loại bỏ định lượng : theory.stanford.edu/~tingz/talks/qe.ps

Ngoài các câu trả lời đã được đưa ra: một tài liệu tham khảo rất hay về tính quyết định (chưa) của các đoạn logic thứ nhất là cuốn sách Vấn đề quyết định cổ điển của Börger, Grädel và Gurevich