Đồ thị phẳng qua giao điểm của chất béo?

Có một định lý tuyệt đẹp về Koebe (xem ở đây ) nói rằng bất kỳ đồ thị phẳng nào cũng có thể được vẽ dưới dạng đồ thị hôn của đĩa (rất lãng mạn ...). (Đặt nó hơi khác một chút, bất kỳ đồ thị phẳng nào cũng có thể được vẽ dưới dạng đồ thị giao nhau của các đĩa.)

Định lý Koebe không dễ chứng minh. Câu hỏi của tôi: Có một phiên bản dễ dàng hơn của định lý này hay không, thay vì các đĩa, người ta được phép sử dụng bất kỳ hình dạng lồi mỡ nào (lồi có thể được mở cho các cuộc đàm phán, nhưng không phải là độ béo). Lưu ý rằng mỗi đỉnh có thể là một hình dạng khác nhau.

Cảm ơn...

Làm rõ: Đối với một hình dạng , chúng ta hãy là bán kính của quả bóng kèm theo nhỏ nhất của , và để cho cho tôi bán kính của bóng kín lớn nhất trong . Hình dạng là -fat nếu . (Đây không phải là định nghĩa duy nhất cho độ béo, BTW.)$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

Bạn đã không nói rằng các đối tượng chất béo phải là hai chiều, phải không? Felsner và Francis chứng minh rằng điều đó luôn luôn khả thi với các hình khối song song trục trong 3d . Nhưng, bằng chứng liên quan đến những khái quát của Schramm về Koebe-Thurston-Andreev, vì vậy nó không chính xác là một kết quả đơn giản hơn. Họ cũng đề cập đến cách mà đối với các đồ thị phẳng tối đa bốn kết nối, có thể sử dụng các tam giác đều cạnh song song.

Nếu bạn sử dụng hình tam giác, nó có thể được thực hiện. Có lẽ không dễ hơn Koebe mặc dù ...

de Fraisseix, Ossona de Mendez và Rosenstiehl. Trên biểu đồ liên hệ tam giác. CPC 3 (2): 233-246, 1994.

Schramm đã chứng minh rằng mọi đồ thị phẳng là đồ thị tiếp xúc của một số tập hợp các vật lồi trơn trong mặt phẳng trong luận án tiến sĩ của ông (Princeton, 1990) sử dụng Định lý điểm cố định của Brouwer's.

Một khảo sát hay về kết quả này và các kết quả khác liên quan đến Định lý của Koebe nằm trong một khảo sát của Sachs .

$K_4$

Có một bài báo mới về arxiv của Duncan, Gansner, Hu, Kaufman và Kobourov trên các biểu diễn biểu đồ liên hệ. Họ cho thấy rằng đa giác 6 mặt là cần thiết và đủ. Các hình lục giác có thể lồi, nhưng lần đầu tiên tôi không rõ liệu chúng có béo hay không.

Gerd Wegner trong luận án tiến sĩ của mình (Georg-August-Universität, Göttingen, 1967) đã chứng minh rằng bất kỳ biểu đồ nào là biểu đồ liên hệ của một tập hợp các đa giác lồi ba chiều (nhưng ông cho rằng bằng chứng đầu tiên chưa được công bố về kết quả cho Grünbaum). Đây là một bằng chứng ngắn.