Giới hạn khoảng cách giữa độ phức tạp truy vấn lượng tử và xác định

Mặc dù sự phân tách theo cấp số nhân giữa độ phức tạp truy vấn lượng tử lỗi ( ) và độ phức tạp truy vấn xác định ( ) hoặc độ phức tạp truy vấn ngẫu nhiên lỗi ( ) đã biết, chúng chỉ áp dụng cho một số chức năng nhất định. Nếu các hàm một phần có một số cấu trúc đặc biệt thì chúng cũng liên quan đến đa thức với . Tuy nhiên, tôi chủ yếu quan tâm đến tổng số chức năng.D ( f ) R ( f ) D ( f ) = O ( Q ( f ) 9 ) $Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

Trong một bài báo cổ điển đã chỉ ra rằng được giới hạn bởi cho tổng số hàm, cho các hàm tổng đơn điệu và cho các hàm tổng đối xứng. Tuy nhiên, không có sự phân tách bậc hai nào được biết đến đối với các loại hàm này ( ví dụ như sự phân tách này đạt được bằng ). Theo tôi hiểu, hầu hết mọi người phỏng đoán rằng với tổng số hàm chúng ta có . Trong những điều kiện nào phỏng đoán này đã được chứng minh (ngoài các chức năng đối xứng)? Giới hạn hiện tại tốt nhất về độ phức tạp của cây quyết định về độ phức tạp truy vấn lượng tử cho tổng số hàm là gì?O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2 ) O R D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Theo như tôi biết, giới hạn chung mà bạn nêu rõ về cơ bản được biết đến nhiều nhất. Thay đổi mô hình một chút, Midrijanis đã chỉ ra ràng buộc rằng , trong đó là độ phức tạp truy vấn lượng tử chính xác của ; cũng có những giới hạn chặt chẽ hơn được biết về lỗi một phía (xem Phần 6 của bài viết này ).Q E ( f ) $D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

Về các lớp hàm cụ thể hơn, nhưng vẫn chung chung, có một bài báo về Barnum và Saks cho thấy tất cả các hàm đọc một lần trên biến có độ phức tạp truy vấn lượng tử .Ω ( $n$$\Omega(\sqrt{n})$

Mặc dù tiến trình này đã bị hạn chế, nhưng đã có tiến bộ đáng kể trong việc giới hạn mức độ phức tạp truy vấn lượng tử của các chức năng cụ thể ; xem đánh giá này để biết chi tiết (hoặc ví dụ như bài báo gần đây của Reichardt, chứng minh rằng phiên bản chung nhất của ràng buộc '' đối thủ '' đặc trưng cho độ phức tạp của truy vấn lượng tử).

Tôi thích câu trả lời của Ashley Montanaro, nhưng tôi nghĩ tôi cũng sẽ bao gồm một tập hợp các hàm mà phỏng đoán được biết đến.

Một tập hợp các hàm thường được quan tâm là các hàm có chứng chỉ 1 có kích thước không đổi. Loại vấn đề này bao gồm những thứ như , tính khác biệt, va chạm, tìm tam giác và nhiều vấn đề khác (không thuộc họ HSP) đã được chứng minh là có sự phân tách phức tạp truy vấn.$OR$

Đối với hàm tổng số 1 chứng chỉ có kích thước không đổi , chúng ta có .$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Chi tiết:

Chứng chỉ cho đầu vào là tập hợp con của bit sao cho tất cả các đầu vào , . Thì là kích thước tối thiểu của chứng chỉ cho đầu vào và độ phức tạp 1 chứng chỉ (Độ phức tạp của chứng chỉ 0 là như nhau nhưng bị giới hạn ở ).$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

Bạn có thể chỉ ra rằng . Sau đó, bạn có thể sử dụng thuật toán được trình bày trong khảo sát của Buhrman và de Wolf để chỉ ra rằng:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Nếu chúng tôi hạn chế sự chú ý đến các thuộc tính biểu đồ, thì chúng tôi có thể chứng minh các giới hạn được cải thiện đôi chút so với các giới hạn chung mà bạn đề cập:

Trong một bài báo cổ điển đã chỉ ra rằng được giới hạn bởi cho tổng số hàm, cho các hàm tổng đơn điệu và cho các hàm tổng đối xứng.O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

Đầu tiên tôi nghĩ rằng giới hạn năng lượng thứ 6 có thể được cải thiện thành sức mạnh thứ 4 cho các thuộc tính đồ thị. Điều này diễn ra sau [1], trong đó họ cho thấy rằng bất kỳ thuộc tính đồ thị nào cũng có độ phức tạp truy vấn ít nhất , trong đó là kích thước đầu vào, là bậc hai trong số các đỉnh. Tất nhiên sự phức tạp truy vấn cổ điển là tại hầu hết các .N $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

Công suất thứ 4 giới hạn cho các hàm tổng đơn điệu có thể được cải thiện thành công suất thứ 3 cho các thuộc tính đồ thị đơn điệu. Điều này xuất phát từ một quan sát chưa được công bố của Yao và Santha (được đề cập trong [2]) rằng tất cả các thuộc tính đồ thị đơn điệu có độ phức tạp truy vấn lượng tử .$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Mặt trời, X.; Yao, AC.; Shengyu Zhang, "Thuộc tính đồ thị và các hàm tròn: độ phức tạp của truy vấn lượng tử có thể giảm đến mức nào?," Độ phức tạp tính toán, 2004. Kỷ yếu. Hội nghị thường niên lần thứ 19 của IEEE về, tập, số., Tr.286.293, 21-24 tháng 6 năm 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "Thuật toán lượng tử cho bài toán tam giác", Kỷ yếu của hội nghị chuyên đề ACM-SIAM hàng năm lần thứ mười sáu về các thuật toán rời rạc, Vancouver, British Columbia: Hiệp hội toán học công nghiệp và ứng dụng, trang 1109, 1111, arXiv: quant -ph / 0310134.

Rất nhiều tiến bộ đã được thực hiện cho câu hỏi này trong năm 2015.

Đầu tiên, trong arXiv: 1506.04719 [cs.CC] , các tác giả đã cải thiện việc phân tách bậc hai bằng cách hiển thị tổng hàm với$f$

Mặt khác, trong arXiv: 1512.04016 [quant-ph] , đã chỉ ra rằng mối quan hệ bậc hai giữa độ phức tạp truy vấn lượng tử và xác định giữ khi miền của hàm rất nhỏ.