Thuật toán bao thanh toán của Shor

Tôi gặp một chút khó khăn khi hiểu đầy đủ các bước cuối cùng của thuật toán bao thanh toán của Shor.

Cho một $N$ chúng ta muốn nhân tố, chúng ta chọn một ngẫu nhiên $x$ có thứ tự $r$ .

Bước đầu tiên liên quan đến việc thiết lập các thanh ghi và áp dụng toán tử Hadamard. Bước thứ hai một toán tử tuyến tính được áp dụng. Bước thứ ba, thanh ghi thứ hai được đo (tôi tin rằng bước này có thể được thực hiện sau đó). Bước thứ tư, biến đổi Fourier rời rạc được áp dụng cho thanh ghi đầu tiên. Sau đó, chúng tôi đo đăng ký đầu tiên.

Đây là nơi tôi hơi mơ hồ:

Chúng tôi nhận được một phép đo theo hình thức . $\mid j , x^k \textrm{mod} N \rangle$

Từ đó, chúng ta có thể tìm thấy các điểm hội tụ của phân số , các điểm hội tụ là các giá trị có thể có của thứ tự. Ở đây chúng ta chỉ cần thử tất cả các điểm hội tụvà nếu chúng ta không tìm thấylà một trong những điểm hội tụ thì chúng ta có bắt đầu lại không? $\frac{j}{2^q}$ $r$ $< N$ $r$

Ngoài ra làm thế nào để xác suất cho các giá trị có thể khác nhau? Theo cách chúng tôi thấy thì tất cả đều có cùng xác suất nhưng bài báo của Shor nói rằng đây không phải là trường hợp? $j$

Chỉ hơi bối rối vì một số giấy tờ dường như nói những điều khác nhau.

Cảm ơn.

quantum-computing

— Callum
nguồn

@Peter Shor thậm chí có thể giúp bạn với cái này.

— Dave Clarke

Kể từ khi hỏi câu hỏi này, tôi nghĩ rằng tôi hiểu rõ hơn về nó. Để làm rõ cho những ai quan tâm, chúng tôi lấy số đo ở dạng

nơi mà tất cả chúng ta cần là

. Giá trị

có thể được viết là

bằng cách chia cho

chúng ta nhận được

và từ đó chúng ta có thể tìm thấy sự hội tụ của nó, mẫu số

của một điểm hội tụ là giá trị có thể của

, nếu nó không phải là thuật toán được chạy lại. Khả năng tìm thấy

dựa trên một khoản tiền phụ thuộc vào giá trị của

và khoảng thời gian

là gì.

∣ j, x^{k} \mod N ⟩

$\mid j , x^k \mod N \rangle$

j

$j$

j

$j$

j = 2^{q} k / r

$j= 2^q k/ r$

2^{q}

$2^q$

k / r

$k/r$

< N

$< N$

r

$r$

j

$j$

2^{q}

$2^q$

r

$r$

— Callum

Từ đó, chúng ta có thể tìm thấy các điểm hội tụ của phân số , các điểm hội tụ là các giá trị có thể có của thứ tự Ở đây chúng ta chỉ cần thử tất cả các điểm hội tụ và nếu chúng ta không tìm thấy là một trong những điểm hội tụ thì chúng ta có bắt đầu lại không? $j/2^q$ $r.$ $<N$ $r$

Bạn có thể; thuật toán hoạt động khá nhanh nếu bạn làm. Nếu bạn muốn giảm số bước lượng tử dự kiến, bạn cũng có thể thực hiện một số thử nghiệm khác; ví dụ bạn nên kiểm tra xem có phải là bội số nhỏ của một trong các điểm hội tụ hay không. Nhưng nếu bạn không tìm thấy $r$ $r$ sau các thử nghiệm mở rộng này, bạn cần bắt đầu lại.

Ngoài ra làm thế nào để xác suất cho các giá trị có thể khác nhau? Theo cách chúng tôi thấy thì tất cả đều có cùng xác suất nhưng bài báo của Shor nói rằng đây không phải là trường hợp? $j$

Tôi không biết liệu tôi có thể giúp bạn nhiều hơn với điều này không, vì bạn đã không cung cấp cho tôi đủ thông tin để tôi nói lý do tại sao bạn bối rối. Xác suất cho mỗi giá trị của trong phân số là (rất gần) như nhau. Tuy nhiên, tùy thuộc vào chính xác nơi nằm giữa các giá trị liền kề của và , xác suất của các giá trị cụ thể của khác nhau. $k$ $k/r$ $k/r$ $j/2^q$ $(j+1)/2^q$ $j$

— Peter Shor
nguồn

Tôi thích cách bạn gọi tờ giấy là "Giấy của Shor" :)

— Suresh Venkat

Prob (j) = \frac{1}{2^{q} \times ([\frac{2^{q} - k - 1}{r}] + 1)} | \sum_{a = 0}^{[\frac{2^{q} - k - 1}{r}]} e^{- 2 π i r j a / 2^{q}} |^{2}

$\textrm{Prob} (j) = \frac{1}{2^q \times ([ \frac{2^q - k -1}{r}]+1)} \Bigg| \sum^{[ \frac{2^q - k -1}{r}]}_{a=0} e^{ -2 \pi i rja/2^q } \Bigg| ^2$

x

$x$

r = 2^{t}

$r= 2^t$

j = \frac{k_{0} 2^{q}}{r}

$j= \frac{ k_0 2^q}{r}$

k_{0} = 0, \dots, r - 1

$k_0 = 0, \cdots , r-1$

j

$j$

\frac{1}{2^{t}}

$\frac{1}{2^t}$

r = 2^{t}

$r=2^t$

j

$j$

1 / 2^{t}

$1/2^t$