Đồ thị phổ biến lớn nhất của hai đồ thị phẳng cực đại

Hãy xem xét vấn đề sau -

Với tối đa phẳng đồ thị và , tìm đồ thị với số lượng tối đa của các cạnh như rằng có một đồ thị con (không nhất thiết gây ra) trong cả hai và đó là đẳng cấu với .G 2 G G 1 G 2$G_1$$G_2$$G$$G_1$$G_2$$G$

Điều này có thể được thực hiện trong thời gian đa thức? Nếu có thì làm thế nào?

Người ta biết rằng nếu và là đồ thị chung, thì vấn đề là NP-đầy đủ (vì có thể là một cụm). Người ta cũng biết rằng nếu và là cây, hoặc cây k một phần mức độ giới hạn, thì vấn đề có thể được giải quyết trong thời gian đa thức. Vậy những gì về trường hợp phẳng tối đa? Có ai biết điều này? Đồ thị đẳng cấu trên hai đồ thị phẳng cực đại là đa thức. Có lẽ điều này giúp bằng cách nào đó?G 2 G 1 G 1 G $G_1$$G_2$$G_1$$G_1$$G_2$

Đó là NP-perfect, thông qua một phiên bản sửa đổi của Wigderson rút gọn được sử dụng để chứng minh rằng Tính độc lập của đồ thị phẳng tối đa là NP hoàn chỉnh.

Kiểm tra cẩn thận bằng chứng về độ cứng hoàn chỉnh NP 1982 của Wigderson cho các chu kỳ Hamilton trong đồ thị phẳng tối đa ( http://www.math.ias.edu/avi/node/820 ) cho thấy các trường hợp được tạo ra bởi sự giảm của anh ta có thuộc tính ở đó tồn tại một cạnh sao cho tồn tại một chu trình Hamilton thông qua e hoặc hoàn toàn không tồn tại bất kỳ chu trình Hamilton nào. Chẳng hạn, e có thể được chọn là một trong những cạnh trong một trong những M -gadgets của Wigderson .$e$$e$$e$$M$

Đặt là một thể hiện cứng được xây dựng theo cách này và nhúng G sao cho cạnh e thuộc tam giác ngoài của nhúng. Kết nối nhiều bản sao của đồ thị nhúng này để họ e -edges tạo thành một chu kỳ, và làm cho kết quả tối đa phẳng một lần nữa bằng cách thêm hai đỉnh, một trên mỗi bên của chu kỳ này, kết nối với tất cả các đỉnh tiếp xúc của các bản sao của G . Hãy để số lượng bản sao được c , và gọi kết quả đồ thị H . Hãy n là số đỉnh của G .$G$$G$$e$$e$$G$$c$$H$$n$$G$

Ví dụ cứng của chúng tôi cho các đồ thị con chung lớn nhất sẽ là cặp nơi B là một bipyramid với cùng một số đỉnh là H . Do đó, một sơ đồ con chung tối ưu sẽ phải ghép tất cả các đỉnh. Nếu chúng ta làm cho c đủ lớn, sơ đồ con sẽ nhất thiết phải ghép các đỉnh của hình chóp với hai đỉnh được thêm vào trong H , bởi vì độ của chúng ( c và 2 c ) sẽ đủ cao hơn mọi đỉnh khác trong H , do đó việc thêm các độ này đến kích thước giải pháp sẽ bù đắp cho bất kỳ sự gián đoạn nào khác do việc ghép nối này gây ra.$(H,B)$$B$$H$$c$$H$$c$$2c$$H$

Nếu là Hamilton, thì sơ đồ con chung được hình thành bằng cách khớp chu trình Hamilton (trừ e ) trong các bản sao của G với đường xích đạo của bipyramid sẽ có các cạnh c ( n + 2 ) , c ( n - 1 ) cho đường xích đạo và 3 c cho các đỉnh. Nếu G không phải là Hamilton, thì (đối với các lựa chọn đủ lớn của c rằng giải pháp tối ưu sẽ ghép chính xác các đỉnh), mọi sơ đồ con thông thường sẽ có ít cạnh hơn: vẫn 3 c ở các đỉnh nhưng nhỏ hơn c ( $G$$e$$G$$c(n+2)$$c(n-1)$$3c$$G$$c$$3c$ ở nơi khác. Vì vậy, kiểm tra xem sơ đồ con chung của H và B có ít nhất các cạnh c ( n + 2 ) đã hoàn thành NP hay không.$c(n-1)$$H$$B$$c(n+2)$