Đánh tập hợp các gia đình giao nhau

Tập hợp gia đình là tập hợp con của sao cho cho . Vấn đề để tìm một tập hợp tối thiểu của một gia đình nhất định nói chung là NP-hard, vì nó khái quát hóa vấn đề che đỉnh. Bây giờ câu hỏi của tôi là:H ⋃ n i = 1 S i H ∩ S i ≠ ∅ 1 ≤ i ≤ $\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$$H$$\bigcup_{i=1}^{n} S_i$$H \cap S_i \ne \emptyset$$1 \le i \le n$

Có phải vấn đề thiết lập nhấn vẫn là NP-hard khi các phần tử của giao nhau?$\mathcal{S}$

Tôi cũng quan tâm đến độ cứng gần đúng (hoặc khả năng di chuyển) của vấn đề này.

Câu trả lời là có - vấn đề vẫn là NP-Complete. với mỗi bộ tạo một phần tử giả và tạo một bộ mới và . Thật dễ dàng để xác minh rằng bất kỳ bộ hit nào của hệ thống cũ là một bộ hit của hệ thống mới. Hơn nữa, ngoại trừ các phần tử giả, mọi phần tử hiện đạt ít nhất ba bộ.$S_i$$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

Tiếp theo, với mỗi cặp bộ trong hệ thống mới (hãy gọi chúng là và để tránh nhầm lẫn), tạo phần tử giả và thêm nó vào cả và . Rõ ràng, trong hệ thống tập kết quả, tất cả các bộ giao nhau theo cặp, nhưng bộ đánh tối ưu ban đầu vẫn là bộ đánh tối ưu cho hệ thống mới nhất này.$T_i$$T_j$$x_{ij}$$T_i$$T_j$

Không có bất kỳ hạn chế nào nữa, vấn đề có vẻ khó như vấn đề ban đầu.

BTW, chứng minh rằng thực sự giải pháp tối ưu sẽ không sử dụng bất kỳ yếu tố giả nào là không tầm thường. Đầu tiên, chúng ta có thể giả sử rằng một bộ nhấn đã cho cho hệ thống mới không bao gồm bất kỳ hoặc , vì nếu không, chúng ta có thể di chuyển các phần tử sang các phần tử ban đầu của các bộ và lấy một bộ nhấn có kích thước tương tự. Sẽ tinh tế hơn một chút để xem tại sao các phần tử không nằm trong tập hợp tối ưu. Vì nó tẻ nhạt nên tôi chỉ để lại một gợi ý: xây dựng biểu đồ kết nối hai bộ và trong hệ thống ban đầu nếu kết nối hai bộ có nguồn gốc từ các bộ này. Lập luận rằng đồ thị này trong bộ đánh tối thiểu phải là$e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$$3$thông thường, và như vậy số lượng các cạnh trong nó vượt quá số lượng các bộ có mặt như các đỉnh. Như vậy, người ta có thể tìm thấy một bộ hit nhỏ hơn cho các bộ này.