Tiến bộ về vấn đề chiều cao sao tổng quát?

Chiều cao sao (tổng quát) của ngôn ngữ là mức lồng tối thiểu của các ngôi sao Kleene cần có để thể hiện ngôn ngữ bằng biểu thức chính quy mở rộng. Hãy nhớ lại rằng một biểu thức chính quy mở rộng trên bảng chữ cái hữu hạn thỏa mãn các điều sau:$A$

(1) và là các biểu thức chính quy mở rộng cho tất cảa a ∈ $\emptyset, 1$$a$$a\in A$

(2) Đối với tất cả các biểu thức chính quy mở rộng ; , , và là các biểu thức chính quy mở rộngE ∪ F E F E ∗ E $E,F$
$E\cup F$$EF$$E^*$$E^c$

Một giai đoạn của vấn đề chiều cao sao tổng quát là liệu có một thuật toán để tính chiều cao sao tổng quát tối thiểu hay không. Liên quan đến vấn đề này, tôi có một vài câu hỏi.

1. Có bất kỳ tiến bộ gần đây (hoặc quan tâm nghiên cứu) liên quan đến vấn đề này? Tôi biết một số năm trước rằng Pin Straubing và Thérien đã xuất bản một số bài báo trong lĩnh vực này.

2. Vấn đề chiều cao sao bị hạn chế đã được giải quyết vào năm 1988 bởi Hashiguchi nhưng phiên bản tổng quát (theo như tôi biết) vẫn còn mở. Có ai có bất kỳ trực giác nào về lý do tại sao điều này có thể là trường hợp?

Một liên kết có thể hữu ích là như sau: starheight

Về câu hỏi thứ hai của bạn, một lời giải thích tại sao vấn đề chiều cao sao tổng quát khó tiếp cận hơn vấn đề chiều cao sao là: Bài báo bán nguyệt của Eggan năm 1963 có các ngôn ngữ về chiều cao sao (thông thường) , với mỗi k ≥ 0 . Chỉ vài năm sau, McNaughton, và, độc lập, Déjean và Schützenberger, đã tìm thấy các ví dụ về bảng chữ cái nhị phân. Điều này làm rõ vấn đề "là về". Trong những năm sau đó, đã có một dòng kết quả được công bố ít nhiều đều đặn trong khu vực của vấn đề chiều cao sao thông thường. Điều này đã tạo ra một cơ thể ngày càng tăng của các ví dụ, phản mẫu và hiện tượng được công bố xung quanh vấn đề này.$k$$k\ge 0$

Ngược lại, sau khoảng năm mươi năm nay, chúng ta không biết liệu có bất kỳ ngôn ngữ thông thường nào về chiều cao của sao ít nhất là hai. Vì vậy, chúng tôi thậm chí không biết liệu có cần một thủ tục quyết định hay không. Điều này "hoàn toàn thiếu ví dụ" cho thấy rằng cực kỳ khó khăn để nắm bắt vấn đề này.

Câu trả lời này dành riêng cho ký ức của Janusz (John) Antoni Brzozowski, người đã qua đời vào ngày 24 tháng 10 năm 2019.

John chắc chắn là người khiến các vấn đề về chiều cao của ngôi sao trở nên nổi tiếng. Thật vậy, tại một hội nghị ở Santa Barbara vào tháng 12 năm 1979, ông đã trình bày một lựa chọn sáu vấn đề mở về ngôn ngữ thông thường và đề cập đến hai chủ đề khác trong phần kết luận của bài báo của mình [1]. Sáu vấn đề mở này là, theo thứ tự, chiều cao sao, chiều cao sao bị hạn chế, độ phức tạp của nhóm, loại bỏ sao, tính đều đặn của các lớp không đếm và sự tối ưu của mã tiền tố. Hai chủ đề khác là vấn đề giới hạn và phân cấp độ sâu chấm.

Vào tháng 6 năm 2015, trong một cuộc hội thảo kéo dài một ngày để vinh danh sinh nhật lần thứ 80 của mình , tôi đã trình bày hai bài báo khảo sát tóm tắt tình trạng của nghệ thuật về những câu hỏi này [2, 3]. Cụ thể, bạn sẽ tìm thấy trong [2] thông tin chi tiết về các vấn đề về chiều cao sao.

[1] JA Brzozowski, Các vấn đề mở về ngôn ngữ thông thường , trong lý thuyết ngôn ngữ chính thức. Quan điểm và vấn đề mở, Kỷ yếu của một hội nghị chuyên đề được tổ chức tại Santa Barbara, California, ngày 10 đến 14 tháng 12 năm 1979 [, RV Book (chủ biên), trang 23 Jovanovich, Nhà xuất bản. XIII, 454 tr., 1980.

[2] J.-É. Pin, vấn đề mở về ngôn ngữ thông thường, 35 năm sau , Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. Vai trò của lý thuyết trong khoa học máy tính - Các tiểu luận dành riêng cho Janusz Brzozowski, World Science, 2017,

[3] J.-É. Pin, hệ thống phân cấp độ sâu chấm, 45 năm sau . Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. Vai trò của lý thuyết trong khoa học máy tính - Các tiểu luận dành riêng cho Janusz Brzozowski, World Science, 2017.

Giải pháp cho vấn đề chiều cao sao bị hạn chế đã truyền cảm hứng cho lý thuyết phong phú về các hàm chi phí thông thường (của Colcombet), từ đó giúp giải quyết các vấn đề có thể quyết định khác và đưa ra các công cụ mới để tấn công các vấn đề mở. Lý thuyết này vẫn đang phát triển và được mở rộng thành các từ vô hạn, cây hữu hạn, cây vô hạn, với tập hợp kết quả sâu sắc và các vấn đề mở của riêng nó. Đây là một bài báo lý thuyết và một thư mục từ trang web của Colcombet.

Vì vậy, mặc dù nó không trực tiếp là ứng dụng của chiều cao sao tổng quát, nhưng nó cho thấy rằng tiến bộ về các vấn đề dường như vô dụng như chiều cao sao có thể có nghĩa là hiểu rõ hơn về ngôn ngữ thông thường và mang lại kết quả mới cho các vấn đề khác nhau.

Tham khảo: Thomas Colcombet. Lý thuyết về đơn chất ổn định và các hàm chi phí thường xuyên. Trong: ICALP 2009