Hậu quả của

Là một người nghiệp dư TCS, tôi đang đọc một số tài liệu phổ biến, rất giới thiệu về điện toán lượng tử. Dưới đây là một vài thông tin cơ bản mà tôi đã học được cho đến nay:

1. Máy tính lượng tử không được biết để giải quyết các vấn đề hoàn thành NP trong thời gian đa thức.
2. "Ma thuật lượng tử sẽ không đủ" (Bennett et al. 1997): nếu bạn vứt bỏ cấu trúc vấn đề và chỉ xem xét không gian của giải pháp khả thi, thì ngay cả một máy tính lượng tử cũng cần khoảng các bước để tìm đúng (sử dụng thuật toán của Grover)$2^n$$\sqrt{2^n}$
3. Nếu một thuật toán thời gian đa thức lượng tử cho một vấn đề hoàn thành NP được tìm thấy, nó phải khai thác cấu trúc vấn đề theo một cách nào đó (nếu không thì bullett 2 sẽ bị mâu thuẫn).

Tôi có một số câu hỏi (cơ bản) mà dường như không ai đã hỏi cho đến nay trên trang web này (có thể vì chúng là cơ bản). Giả sử ai đó tìm thấy thuật toán thời gian đa thức lượng tử lỗi giới hạn cho (hoặc bất kỳ vấn đề hoàn thành NP nào khác), do đó đặt vào và ngụ ý .$SAT$$SAT$$BQP$$NP \subseteq BQP$

Câu hỏi

1. Đó sẽ là hậu quả lý thuyết của một khám phá như vậy? Làm thế nào bức tranh tổng thể của các lớp phức tạp sẽ bị ảnh hưởng? Những lớp nào sẽ trở nên ngang bằng với những lớp khác?
2. Một kết quả như thế dường như cho thấy máy tính lượng tử có sức mạnh vượt trội so với máy tính cổ điển. Đó sẽ là hậu quả của một kết quả như thế trên vật lý? Nó sẽ phát ra một số ánh sáng về bất kỳ vấn đề mở trong vật lý? Vật lý sẽ được thay đổi sau một kết quả tương tự? Liệu định luật vật lý như chúng ta biết sẽ bị ảnh hưởng?
3. Khả năng (hoặc không) khai thác cấu trúc vấn đề theo cách đủ chung (nghĩa là độc lập với trường hợp cụ thể) dường như là cốt lõi của câu hỏi P = NP. Bây giờ nếu tìm thấy thuật toán lượng tử thời gian đa thức lỗi cho và nó phải khai thác cấu trúc vấn đề, liệu chiến lược khai thác cấu trúc của nó có thể sử dụng được trong kịch bản cổ điển không? Có bằng chứng nào cho thấy việc khai thác cấu trúc như vậy có thể khả thi đối với máy tính lượng tử, trong khi vẫn không thể đối với máy tính cổ điển?$SAT$

Tôi sẽ không cố gắng trả lời câu hỏi đầu tiên, vì một người như Scott Aaronson, Peter Shor hay John Watrous không thể nghi ngờ gì sẽ cho bạn một câu trả lời toàn diện hơn nhiều về mặt trận đó.

Đối với câu hỏi 2, điều quan trọng cần lưu ý là máy tính lượng tử trên thực tế mạnh hơn máy tính cổ điển trong nhiều trường hợp:

1. Có một sự tăng tốc đa thức khá chung chung đạt được bởi các máy tính lượng tử so với các máy tính cổ điển trong một số vấn đề. Từ quan điểm phức tạp, điều này có lẽ hơi thú vị hơn so với việc tăng tốc theo cấp số nhân, nhưng là điều mà chúng ta thực sự có thể chứng minh.
2. Độ phức tạp truyền thông lượng tử thường có thể thay đổi đáng kể so với độ phức tạp truyền thông cổ điển cho cùng một vấn đề. Một lần nữa, đây là điều có thể được chứng minh (ví dụ như trò chơi Mermin-GHZ).
3. Các truy vấn lượng tử đối với các nhà tiên tri thường rất mạnh hơn nhiều so với các truy vấn cổ điển cho cùng một nhà tiên tri (ví dụ: thuật toán tiếng Đức-Josza).

Với ý nghĩ này, người ta đã biết rằng máy tính lượng tử mạnh hơn về cơ bản so với máy tính cổ điển. Tôi nghĩ rằng tôi sẽ đúng khi nói rằng phần lớn các nhà vật lý nghiên cứu những thứ như vậy đã cho rằng không thể tìm thấy một thuật toán cổ điển để mô phỏng hiệu quả mọi hệ thống lượng tử, và vì vậy, trong khi kết quả cho thấy NP được chứa trong BQP chắc chắn sẽ rất ngạc nhiên, nó sẽ không đặc biệt mang đến một bước đột phá trong sự hiểu biết về bất kỳ hiện tượng vật lý cụ thể nào. Thay vào đó, nó sẽ cung cấp bằng chứng mạnh mẽ hơn một chút rằng vật lý lượng tử khó mô phỏng.

Không có vật lý cơ bản nào phụ thuộc vào độ phức tạp tính toán của việc mô phỏng nó, vì vậy việc tìm ra một thuật toán lượng tử hiệu quả cho một vấn đề hoàn chỉnh NP sẽ không có hậu quả cơ bản cho sự hiểu biết hiện tại của chúng ta về cách thức hoạt động của vũ trụ (mặc dù tôi nghiêng đồng ý với đề nghị của Scott Aaronson rằng thật thú vị để xem liệu bạn có thể có các quy luật vật lý xuất hiện từ các giả định tính toán hay không).

Thật vô cùng hấp dẫn khi nói rằng điều này sẽ có hậu quả cho sự tiến hóa đáng tin cậy của các hệ lượng tử (và tôi đoán bạn có thể nhận được một hoặc hai câu trả lời rằng), v.v., nhưng điều này sẽ không chính xác, vì chúng bị chi phối bởi một quá trình vật lý cụ thể và như vậy cho thấy về nguyên tắc có thể giải SAT trong thời gian đa thức trên máy tính lượng tử, sẽ không nói gì về sự tiến hóa cụ thể của chúng.

Liên quan đến câu hỏi cuối cùng của bạn, chúng tôi đã có các ví dụ trong đó cấu trúc vấn đề được khai thác để mang lại thuật toán lượng tử đa thức, nhưng không dẫn đến thuật toán cổ điển như vậy (ví dụ bao thanh toán). Vì vậy, theo như sự hiểu biết hiện tại của chúng tôi, một vấn đề với cấu trúc có thể khai thác để mang lại thuật toán lượng tử thời gian đa thức không ngụ ý rằng cấu trúc có thể khai thác để mang lại thuật toán thời gian đa thức cổ điển.

Scott Aaronson thường thích chỉ ra (và có lẽ vẫn thích chỉ ra, cho rằng anh ta đã không mệt mỏi khi làm như vậy) rằng các quá trình vật lý không phải lúc nào cũng tìm thấy mức tối thiểu toàn cầu của một cảnh quan năng lượng . Cụ thể, nếu bạn định tạo một ví dụ về vấn đề tối ưu hóa NP -complete là vấn đề giảm thiểu năng lượng cho hệ thống vật lý, không có lý do nào - dù là lý thuyết hay thực nghiệm - để tin rằng một hệ thống vật lý như vậy sẽ "thư giãn" sau đôi khi giải quyết vấn đề ( tức là  cấu hình năng lượng ở mức tối thiểu toàn cầu). Nó sẽ có khả năng thư giãn đến mức tối thiểu cục bộ: một cấu hình có cấu hình hơi khác nhau đòi hỏi nhiều năng lượng hơn, nhưng trong đó một cấu hình khác biệt đáng kể có thể có ít năng lượng hơn.

Vì vậy, trong khi chứng minh NP  ⊆  BQP sẽ là một chiến thắng của trật tự đầu tiên - đối với tất cả các nhà lý thuyết phức tạp, không chỉ đối với các nhà lý thuyết tính toán lượng tử - nó sẽ gợi ý rằng có một lý thuyết hoàn toàn mới về mô hình tính toán "vật lý" đang chờ được khám phá. Tại sao? Vâng, các mô hình tính toán có thể được hiểu là các mô hình vật lý (mặc dù các mô hình chuyên môn cao): cụ thể là, tài nguyên tính toán nào là hợp lý về mặt vật lý. Một trong những 'khẩu hiệu' tính toán lượng tử là Nature isn't classical, [darn] it^† - vì vậy, trừ khi bạn có thể mô phỏng cơ học lượng tử trên một máy tính cổ điển, những gì bạn thể chất có thể tính toán một cách hiệu quả là gần như chắc chắn mạnh hơn P . Tuy nhiên, chúng tôi có bằng chứng rằng nó kém mạnh hơn NP; vì vậy nó sẽ có được ít mạnh mẽ hơn BQP là tốt, nếu nó xảy ra như vậy mà NP  ⊆  BQP .

Vì vậy, một bằng chứng về NP  ⊆  BQP sẽ đưa ra cho chúng ta một vấn đề:

1. mạch lượng tử có thể được mô phỏng một cách hiệu quả trên một máy tính cổ điển, chứng minh NP  ⊆  BQP  ⊆  P , qua đó vượt qua những giấc mơ hay những cơn ác mộng ngông cuồng của mỗi nhà lý luận;
2. Mạch lượng tử không thể được mô phỏng trên máy tính cổ điển, nhưng máy tính lượng tử có thể mở rộng có thể được xây dựng để giải quyết các vấn đề trong NP , tạo ra sự quan tâm thực sự bùng nổ trong điện toán lượng tử và đảm bảo rằng các nhà vật lý thực nghiệm có được sự bảo mật nghề nghiệp trong tương lai có thể thấy được;
3. có một mô hình tính toán khác đang chờ được khám phá, trung gian giữa P và BQP trong quyền lực, mô tả (hay đúng hơn là xấp xỉ tốt hơn ) những gì có thể tính toán một cách hiệu quả.

Tôi nghi ngờ rằng tiền thông minh sẽ ở vị trí số 3, cũng vui như số 1 hoặc số 2 sẽ từ góc độ học thuật.

^†  Với lời xin lỗi đến Feynman, người mà tôi nghi ngờ không thường mince lời nguyền của mình.