Phân tích quả bóng và thùng trong chế độ m >> n.

Người ta biết rằng nếu bạn ném n quả bóng vào n thùng, thùng được nạp nhiều nhất rất có thể có bóng trong đó. Nói chung, người ta có thể hỏi về quả bóng trong thùng. Một bài báo từ RANDOM 1998 của Raab và Steger khám phá điều này một cách chi tiết, cho thấy khi tăng lên, xác suất vượt xa một chút so với giá trị dự kiến của giảm nhanh chóng. Một cách thô bạo, đặt , chúng cho thấy xác suất nhìn thấy nhiều hơn là . $O(\log n)$ $m > n$ $n$ $m$ $m/n$ $r = m/n$ $r + \sqrt{r\log n}$ $o(1)$

Bài báo này xuất hiện vào năm 1998 và tôi không tìm thấy gì gần đây hơn. Có những kết quả mới và thậm chí tập trung hơn dọc theo các dòng này, hoặc có những lý do heuristic / chính thức để nghi ngờ rằng đây là kết quả tốt nhất có thể nhận được? Tôi nên nói thêm rằng một bài báo liên quan về biến thể đa lựa chọn do Angelika Steger đồng tác giả năm 2006 cũng không trích dẫn bất kỳ tác phẩm nào gần đây.

Cập nhật : Đáp lại bình luận của Peter, hãy để tôi làm rõ những điều tôi muốn biết. Tôi có hai mục tiêu ở đây.

Đầu tiên, tôi cần biết tài liệu tham khảo nào để trích dẫn, và có vẻ như đây là tác phẩm gần đây nhất về điều này.
Thứ hai, đúng là kết quả khá chặt chẽ trong phạm vi r = 1. Tôi quan tâm đến phạm vi m >> n, và đặc biệt trong lĩnh vực mà r có thể là poly log n, hoặc thậm chí n ^ c. Tôi đang cố gắng đưa kết quả này vào một bổ đề mà tôi đang chứng minh và ràng buộc cụ thể trên r kiểm soát các phần khác của thuật toán tổng thể. Tôi nghĩ (nhưng không chắc chắn) rằng phạm vi trên r được cung cấp bởi bài viết này có thể đủ, nhưng tôi chỉ muốn đảm bảo rằng không có ràng buộc chặt chẽ hơn (điều đó sẽ mang lại kết quả tốt hơn).

reference-request pr.probability

— Suresh Venkat
nguồn

Tôi đã học được cái tên về vấn đề chiếm chỗ của người dùng từ thẻ, vì vậy cảm ơn bạn đã đăng câu hỏi giáo dục. :)

— Tsuyoshi Ito

Nhìn vào bài báo của Raab và Steger, thật khó để tôi biết được bạn sẽ muốn kết quả gì hơn nữa dọc theo những dòng này. Có một câu hỏi cụ thể bạn cần biết câu trả lời? Nếu vậy, bạn nên hỏi nó, ở đây hoặc trên MathOverflow. Cụ thể, nếu , Raab và Steger đưa ra giới hạn chặt chẽ của trong đó là hằng số chính xác.

r = m / n

$r=m/n$

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— Peter Shor

@Peter Tôi sẽ chỉnh sửa câu hỏi: đó là một điểm hợp lệ.

— Suresh Venkat

Không thực sự là một câu trả lời đầy đủ (cũng không phải là một tài liệu tham khảo hữu ích), mà chỉ là một nhận xét khá mở rộng. Đối với mọi thùng đã cho, xác suất có chính xác bóng trong thùng sẽ được đưa ra bởi . Chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức do Sondow, , để mang lại , trong đó . Lưu ý rằng ràng buộc này khá chặt chẽ, vì a . $B$ $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $r=\frac{m}{B}-1$ $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

Do đó, chúng ta có . Bây giờ, vì bạn quan tâm đến xác suất tìm thấy hoặc nhiều quả bóng trong thùng, chúng ta có thể xem xét . Sắp xếp lại các điều khoản, chúng tôi nhận được $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ $B$ $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \sum_{b = 0}^{m - B} e^{b (r + 1) \ln (r + 1) - b r \ln r - b \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

Lưu ý tổng kết ở trên chỉ là một chuỗi hình học, vì vậy chúng tôi có thể đơn giản hóa việc này để cung cấp choNếu chúng ta viết lại sử dụng số mũ, chúng ta sẽ nhận được sau đó trở thành

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

Bây giờ, tôi quan tâm đến việc tìm kiếm một số sao cho cho một số không đổi , vì điều này đưa ra tổng xác suất của bất kỳ thùng nào có hoặc nhiều bóng hơn được giới hạn từ trên bằng . Tiêu chí này được thỏa mãn bằng cách lấy có thể được viết lại thành $B$ $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ $C$ $B$ $C$

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

Tôi không hoàn toàn chắc chắn rằng nhận xét này sẽ hữu ích như thế nào đối với bạn (hoàn toàn có thể tôi đã mắc lỗi ở đâu đó), nhưng hy vọng nó có thể được sử dụng.

— Joe Fitzsimons
nguồn

Điều này là khá tuyệt vời. cảm ơn vì phác thảo

— Suresh Venkat

@Suresh: Rất vui vì nó hữu ích.

— Joe Fitzsimons