Mối quan hệ giữa máy Turing và phép tính Lambda?

49

Có mối quan hệ nào giữa Máy Turing và máy tính Lambda - hay chúng chỉ xảy ra để phát sinh cùng một lúc?

computability lambda-calculus turing-machines

— mắt diều hâu
nguồn

7

Bạn có thể giải thích câu hỏi của bạn? Cả hai mô hình đều có sức mạnh tính toán như nhau (cả hai đều có thể biểu thị họ các hàm đệ quy), nghĩa là chúng đã hoàn thành Turing. Xem: vi.wikipedia.org/wiki/Turing_completiness

— Joel Rybicki

liên quan: Lý thuyết khả thi: sự khác biệt về sức mạnh giữa tính toán Lambda và Máy Turing

— Kaveh

Đây là một câu hỏi hay!

— Tayfun Trả

31

Phép tính lambda cũ hơn mô hình máy của Turing, rõ ràng có niên đại từ giai đoạn 1928-1929 (Seldin 2006), và được phát minh để gói gọn khái niệm về chức năng sơ đồ mà Church cần cho logic nền tảng mà ông đã nghĩ ra. Nó không được phát minh để nắm bắt khái niệm chung về chức năng tính toán, và thực sự một phiên bản gõ yếu hơn sẽ phục vụ mục đích của anh ta tốt hơn.

Dường như điều này là ngẫu nhiên với mục đích mà Giáo hội tính toán đã phát minh ra là Turing hoàn chỉnh, mặc dù sau đó, Giáo hội đã sử dụng phép tính lambda làm nền tảng cho cái mà ông gọi là các hàm tính toán hiệu quả (1936), mà Turing đã kháng cáo trong bài báo của mình .

Lý thuyết đơn giản về các loại của Giáo hội (1940) cung cấp một lý thuyết hàm được gõ vừa phải hơn, đủ để diễn đạt cú pháp của logic bậc cao hơn nhưng không diễn tả tất cả các hàm đệ quy. Lý thuyết này có thể được coi là phù hợp hơn với động lực ban đầu của Giáo hội.

Người giới thiệu

Nhà thờ (1936). Một vấn đề không thể giải quyết trong lý thuyết số cơ bản. Tạp chí toán học Mỹ 58: 345 mộc363.
Nhà thờ (1940). Một công thức của lý thuyết đơn giản của các loại . Tạp chí Logic tượng trưng 5 (2): 56 bù68.
Seldin (2006). Logic của Curry và Church . Trong Sổ tay Lịch sử Logic, tập 5: Logic từ Russell đến Nhà thờ , tr. 819 Hoàn874. Bắc Hà Lan: Amsterdam.

Lưu ý Câu trả lời này được sửa đổi đáng kể do sự phản đối của Kaveh và Sasho. Tôi đề nghị dòng thời gian Wikipedia mà Kaveh đề xuất, Lịch sử luận án Church Turing , trong đó có một số trích dẫn lựa chọn từ các bài báo chuyên đề.

— Charles Stewart
nguồn

2

Church đưa ra tuyên bố rằng tính toán lambda nắm bắt ký hiệu trực quan của chức năng tính toán trước bài báo của Turing, đó là lý do tại sao nó được gọi là Luận văn của Giáo hội. Ý tưởng nắm bắt khái niệm chung về các chức năng tính toán trở lại xa hơn (ví dụ: các hàm đệ quy chung của Godel), và Church đang cố gắng nắm bắt nó.

— Kaveh

5

Tôi nghĩ thật sai lầm khi nói rằng sự tương đương của các mô hình là một tai nạn hoàn toàn. Dường như đối với tôi, Church và Turing đã bắt đầu nắm bắt các khái niệm liên quan, ngay cả khi không rõ ràng ngay lập tức rằng các khái niệm này thực tế có liên quan. Bạn có nói rằng "tai nạn hoàn toàn" rằng sự tích hợp và chống phân biệt Riemann có liên quan chặt chẽ với nhau không?

— Sasho Nikolov

@Kaveh: Theo Seldin (2006) Logic của Church và Curry , mục tiêu và cú pháp của phép tính lambda đã được phát triển trong giai đoạn 1928 đến 1929, trước khi Church nhận thức được khái niệm chung về chức năng đệ quy. Câu trả lời của tôi sẽ được hưởng lợi từ dòng thời gian, nhưng tôi không có thời gian để lắp ráp nó ngay bây giờ.

— Charles Stewart

1

λ

$\lambda$

1

@ Charles, như tôi đã viết, tôi đồng ý rằng động lực ban đầu của Giáo hội là xây dựng một nền tảng (giống như hệ thống của Frege) (AFAIK), nhưng ông cũng coi đó là mô hình tính toán trước khi làm việc của Turing. Tôi không nghĩ câu trả lời cần phải xóa, sửa lại đoạn thứ hai sẽ khiến nó ổn. (lý do tôi nhận xét là tôi cảm thấy rằng trong thời gian gần đây, mọi người đánh giá thấp khả năng tính toán công việc của Giáo hội.)

— Kaveh

26

Tôi muốn chỉ ra rằng trong khi máy tính lambda và máy Turing đều tính toán cùng một loại hàm số lý thuyết số, chúng không tương đương chính xác theo mọi cách có thể tưởng tượng được. Ví dụ, trong lý thuyết khả thi, có những phát biểu có thể được nhận ra bằng máy Turing nhưng không phải bằng phép tính lambda. Một tuyên bố như vậy là luận án chính thức của Giáo hội, trong đó nêu rõ:

\forall f : n a t \to n a t \exists e \forall n \exists k (T (e, n, k) \land U (k, f (n)))

$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$

$\mathbf{T}$ $c$ $f$ $e$ $f$ $f$ $c$ $c$ $f$ . Điều này không thể được thực hiện (tôi có thể giải thích tại sao, nếu bạn hỏi nó như một câu hỏi riêng biệt).

— Andrej Bauer
nguồn

4

T_{E} X

$T_EX$

Andrej, bài viết Wikipedia sử dụng thứ tự các tham số khác nhau mà bạn đang sử dụng, đối số thứ hai là đầu vào và thứ ba là mã tạm dừng tính toán, đối số đầu tiên là mã của máy. Tôi đoán bạn đang nói CT, tôi đã chỉnh sửa nó dựa trên vDT88.

— Kaveh

f

$f$

λ

$\lambda$

f

$f$

λ

$\lambda$

@Kaveh: Tôi nghĩ đó là cách khác, nhưng tôi cũng tự hỏi tại sao không phải tự nhiên mà cũng có đầu ra cùng loại với đầu vào trong trường hợp tính toán lambda.

— Abel Molina

1

f : R \to R

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

N^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

11

Chúng có liên quan cả về mặt toán học và lịch sử.

Phép tính lambda được phát triển vào năm 1928 - 1929 bởi Alonzo Church (xuất bản năm 1932).

Máy Turing được phát triển vào năm 1935 - 1937 bởi Alan Turing (xuất bản năm 1937).

Alan Turing là Tiến sĩ của Alonzo Church sinh viên tại Princeton từ 1936 - 1938.

Máy Turing và phép tính lambda tương đương với sức mạnh tính toán: mỗi máy có thể mô phỏng hiệu quả cái kia.

— Matt có thể
nguồn

6

Entscheidungspropet là một trong 23 vấn đề nổi tiếng được đề xuất bởi nhà toán học David Hilbert.

Vào năm 1936 và 1937, Alonzo Church và Alan Turing đã xuất bản các bài báo độc lập cho thấy rằng không thể quyết định về mặt thuật toán liệu các phát biểu trong số học là đúng hay sai, và do đó, một giải pháp chung cho Entscheidungspropet là không thể.

Điều này đã được Alonzo Church thực hiện vào năm 1936 với khái niệm "khả năng tính toán hiệu quả" dựa trên tính toán của ông và Alan Turing trong cùng năm với khái niệm về máy Turing. Sau đó, người ta đã nhận ra rằng đây là những mô hình tính toán tương đương. - Wikipedia

Vì vậy, máy tính lambda và máy Turing không chỉ liên quan chặt chẽ mà chúng là mô hình tính toán tương đương .

Bạn cũng có thể thích tor đọc The Annotated Turing: A Guided Tour Through Alan Turing's History Paper về Tính toán và Máy Turing của Charles Petzold . Cuốn sách này nắm bắt một số thông tin thú vị về chủ đề này.

— Yêu tinh
nguồn

4

Máy Turing và Lambda Tính là hai mô hình nắm bắt khái niệm thuật toán (tính toán cơ học). Tính toán Lambda được phát minh bởi Church để thực hiện các tính toán với các chức năng. Nó là cơ sở của các ngôn ngữ lập trình chức năng. Về cơ bản, mọi vấn đề có thể tính toán được (có thể quyết định) bằng máy Turing cũng có thể tính toán được bằng phép tính Lambda. Vì vậy, chúng là hai mô hình tính toán tương đương (cho đến các yếu tố đa thức) và cả hai đều cố gắng nắm bắt sức mạnh của bất kỳ tính toán cơ học nào.

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn