Mô-đun phân rã và Clique-width

Tôi đang cố gắng để hiểu một số khái niệm về phân rã Modular và đồ thị Clique-width .

Trong bài báo này ("Trên biểu đồ gọn gàng P4"), có một bằng chứng về cách giải quyết các vấn đề tối ưu hóa như số clique hoặc số màu bằng cách sử dụng phân tách Modular. Giải quyết các vấn đề này bằng cách soạn thảo (sử dụng tổng hợp hoặc tách rời liên kết) hai biểu đồ G1, G2 thật dễ dàng khi bạn biết câu trả lời cho G1 và G2. Do các đồ thị nguyên tố về sự phân rã của đồ thị gọn gàng P4 là các đồ thị giới hạn (ví dụ: C5, P5, v.v.), nên dễ dàng giải quyết nó cho "trường hợp cơ sở" này và sau đó giải quyết nó cho các tác phẩm. Do đó bằng cách sử dụng cây phân rã, có thể giải quyết các vấn đề này trong thời gian tuyến tính.

Nhưng có vẻ như kỹ thuật này sẽ hoạt động với bất kỳ lớp biểu đồ nào để các số nguyên tố đồ thị bị chặn. Sau đó, tôi tìm thấy bài báo này "Các vấn đề tối ưu hóa có thể giải quyết được theo thời gian tuyến tính trên đồ thị có độ rộng giới hạn" dường như tạo ra sự khái quát hóa mà tôi đang tìm kiếm nhưng tôi không thể hiểu rõ về nó.

Câu hỏi của tôi là:

1- Có tương đương với việc nói rằng các đồ thị nguyên tố của cây phân rã bị giới hạn (như trong trường hợp đồ thị gọn gàng P4) và nói rằng một đồ thị có thuộc tính "Clique-Width" giới hạn?

2- Trong trường hợp câu trả lời cho 1 là KHÔNG, thì: Không tồn tại bất kỳ kết quả nào về các lớp biểu đồ với các số nguyên tố đồ thị bị ràng buộc (như trong đồ thị P4-tidy) và do đó các vấn đề tối ưu hóa như số clique có thể giải quyết được trong thời gian tuyến tính trên tất cả các lớp này ?

bạn sẽ tìm thấy một văn bản giới thiệu về clique-width (viết tắt là cwd) ở đây: Giới hạn trên của chiều rộng của đồ thị (B. Courcelle và S. Olariu, DAM 101). Bạn có thể tìm thấy nhiều kết quả gần đây hơn trong khảo sát này: Những phát triển gần đây về đồ thị có độ rộng giới hạn (M. Kaminski, V. Lozin, M. Milanic, DAM 157 (12): 2747-2761 (2009))

Cwd là một thước đo phức tạp dựa trên các hoạt động biểu đồ tổng quát hóa việc ghép từ. Đồ thị đếm vô hạn có thể có giới hạn cwd. Bạn sẽ nói rằng một tập hợp (có thể là vô hạn) của đồ thị (hữu hạn hoặc có thể đếm được) đã giới hạn cwd nếu tồn tại một hằng số k sao cho bất kỳ đồ thị nào trong tập hợp này có cwd nhiều nhất là k. Chẳng hạn, đồ thị hoàn chỉnh có cwd 2, đồ thị di truyền khoảng cách cwd nhiều nhất là 3, ...

1) Liên kết giữa cwd và module-dec như sau: cwd (G) = max {cwd (H) | H nguyên tố trong dec mô-đun của G}. Do đó, bạn có thể nói rằng cwd khái quát thực tế rằng "đồ thị nguyên tố có kích thước giới hạn". Bạn có thể có các biểu đồ với các biểu đồ nguyên tố có kích thước không giới hạn nhưng với cwd giới hạn.

2) nếu kích thước của đồ thị nguyên tố bị giới hạn, cwd bị chặn. Các kết quả trong bài báo mà bạn trích dẫn nói rằng mọi vấn đề rõ ràng trong MSOL đều có thể được giải quyết một cách hiệu quả trong các lớp biểu đồ của cwd giới hạn. Nhóm vấn đề này bao gồm nhiều vấn đề hoàn thành NP: số clique, số ổn định, 3 màu, ...

Một số khía cạnh thuật toán của dec decul mô-đun được nghiên cứu ở đây "Một khảo sát về các khía cạnh thuật toán của phân rã mô-đun" (M. Habib và C. Paul, Tạp chí Khoa học Máy tính 4 (1): 41-59 (2010))