Tối đa hóa trọng số tổng cạnh

Tôi tự hỏi nếu vấn đề sau đây có một tên, hoặc bất kỳ kết quả liên quan đến nó.

Đặt là đồ thị có trọng số trong đó biểu thị trọng số của cạnh giữa và và với tất cả , . Vấn đề là để tìm một tập hợp con của các đỉnh nhằm tối đa hóa tổng trọng lượng của các cạnh tiếp giáp với họ: $G = (V,w)$ $w(u,v)$ $u$ $v$ $u,v \in V$ $w(u,v) \in [-1,1]$ Lưu ý rằng tôi đếm cạnh cả hai được bên trong tập hợp con và nằm ngoài tập hợp con, đó là những gì phân biệt vấn đề này từ max-cắt. Tuy nhiên, ngay cả khi cảvàđều ở, tôi chỉ muốn đếm cạnhmột lần (chứ không phải hai lần), đó là điều phân biệt mục tiêu với chỉ đơn thuần là tổng của các độ.

max_{S \subseteq V} \sum_{(u, v) : u \in S or v \in S} w (u, v)

$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$

u

$u$

v

$v$

S

$S$

(u, v)

$(u,v)$

Lưu ý rằng vấn đề là không đáng kể nếu tất cả các trọng số cạnh là không âm - chỉ cần lấy toàn bộ biểu đồ!

— Aaron
nguồn

Định nghĩa của bạn không khớp với ghi chú của bạn sau này về việc không tính các cạnh trùng lặp. Bạn đang tổng hợp các cặp có thứ tự hoặc tập hợp con 2 phần tử? (tôi nghĩ sẽ cung cấp cho bạn tài sản bạn cần)

— Suresh Venkat

Một lưu ý khác: trọng số cạnh duy nhất KHÔNG được tính là những trọng lượng bên trong V \ S. Bạn có quan tâm đến kết quả độ cứng hoặc xấp xỉ không, bởi vì trong trường hợp trước, việc giảm thiểu tổng trọng số cạnh trong S '= V \ S có thể là vấn đề tự nhiên hơn .

— Suresh Venkat

@Suresh: Định nghĩa chính thức trong câu hỏi là chính xác miễn là tỷ lệ xấp xỉ có liên quan. Nó chỉ đưa ra chính xác hai lần những gì người ta mong đợi từ các từ.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: oh tôi hiểu rồi, bởi vì các cạnh trên vết cắt cũng được tính hai lần.

— Suresh Venkat

Vấn đề chính xác là NP-hard bởi vì, như Suresh đã viết trong bình luận của mình, vấn đề này tương đương với chương trình bậc hai {0,1} không hạn chế, đó là NP-hard.

— Tsuyoshi Ito

Không thực sự là một giải pháp nhưng một số quan sát.

$U = \{1, \ldots, m\}$ $S_1, \ldots, S_n \subseteq U$ $w:U \rightarrow [-1, 1]$ $I \subseteq [n]$ $w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$ $U$

$k$ $k$ $1 + 1/e$ $k$ $S_1$ $w(S_1) \geq OPT_k/k$ $OPT_k$ $k$ $OPT_k$ $k$ $w(S_1)$ $OPT_k$

— Sasho Nikolov
nguồn

$n^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

Chúng tôi chỉ ra rằng bên dưới bằng cách đưa ra mức giảm bảo toàn xấp xỉ từ Tập độc lập, trong đó độ cứng của phép tính gần đúng được biết đến.

Giảm từ bộ độc lập

$G=(V,E)$ $d_v$ $v$ $G$ $n$ $G$

$G'=(V',E')$ $G$ $E$ $v\in V$ $d_v-1$ $-1$ $d_v-1$ $v\in V$

$G'$ $G$ $G$

$G$ $k$ $G'$ $k$

$S$ $G$ $S$ $G'$ $S$ $G'$

\sum_{v \in S} d_{v} - (d_{v} - 1) = | S | .

$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$

$S$ $G'$ $k$ $S$ $v'$ $(v',v)$ $v$ $G$ $-1$ $v'$ $S$ $S$ $v$ $v'$ $S$ $v$ $S$

$S$ $G$ $(u,v)$ $u$ $v$ $S$ $v$ $G'$ $d_v - (d_v-1) = 1$ $v$ $(u,v)$ $v$ $S$ $S$

$S$ $|S|$ $|S| \ge k$

$O(n)$ $\epsilon m$

Đối với tôi, dường như vấn đề của bạn thậm chí quyết định liệu có một giải pháp giá trị dương nào có thể là NP-hard hay không.

— Neal trẻ
nguồn