Giảm kích thước với chùng?

11

Bổ đề Johnson-Lindenstrauss nói đại khái rằng với bất kỳ tập hợp của điểm trong , tồn tại một bản đồ trong đó sao cho tất cả : Người ta biết rằng các tuyên bố tương tự là không thể đối với số liệu , nhưng liệu có biết cách nào để có được xung quanh thấp hơn như vậy không Giới hạn bằng cách cung cấp đảm bảo yếu hơn? Ví dụ: có thể có phiên bản bổ đề trên cho $S$ $n$ $\mathbb{R}^d$ $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$ $k = O(\log n/\epsilon^2)$ $x, y \in S$

(1 - ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2} \leq | | x - y | |_{2} \leq (1 + ϵ) | | f (x) - f (y) | |_{2}

$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{1}

$\ell_1$ số liệu chỉ hứa hẹn duy trì khoảng cách của hầu hết các điểm, nhưng có thể để lại một số tùy ý bị bóp méo? Một trong số đó không đảm bảo nhân cho các điểm "quá gần"?

— Aaron
nguồn

9

Tài liệu tham khảo tiêu chuẩn cho kết quả khả quan như vậy là bài viết của Piotr Indyk về các bản phân phối ổn định:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

Anh ta cho thấy một kỹ thuật giảm kích thước cho trong đó khoảng cách giữa bất kỳ cặp điểm nào không tăng (nhiều hơn yếu tố ) với xác suất không đổi và khoảng cách không giảm (nhiều hơn yếu tố ) với mức cao xác suất. Kích thước của nhúng sẽ theo cấp số nhân trong . $\ell_1$ $1+\epsilon$ $1-\epsilon$ $1/\epsilon$

Có thể có những tác phẩm tiếp theo mà tôi không biết.

— Moritz
nguồn

8

Xem các nhúng nhúng số liệu với giấy được bảo đảm thư giãn có kết quả trên (trong các điều kiện "biến dạng xuống cấp duyên dáng") và các nhúng nhúng chung . $\ell_1$ $\ell_p$

Đồng thời xem các Quy trình thực tế để giảm kích thước trong giấy . $\ell_1$

— spinxl39
nguồn

7

Gần đây, Newman và Rabinovich đã chỉ ra rằng đối với n điểm trong có sự giảm kích thước so với kích thước . Sử dụng một định lý của Abraham et al. (Nhúng số liệu với các đảm bảo thoải mái, được đề cập ở trên) người ta có thể giảm kích thước theo chiều hoạt động cho phân số của các cặp. $\ell_1$ $O(n/\epsilon)$ $O(1/(\delta\epsilon))$ $1-\delta$

— Yair
nguồn

4

Một cách thư giãn khác về giảm kích thước là yêu cầu nằm trong không gian con chiều của và khiến phụ thuộc vào . Talagrand chứng minh rằng cho một không gian con chiều của (ông thậm chí đã chứng minh nó cho ), tồn tại một bản đồ cho sao cho tất cả , $\ell_1$ $S$ $c$ $\mathbb{R}^d$ $k$ $c$ $c$ $V$ $\ell_1^d$ $L_1$ $f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$ $x, y \in V$ $(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$ . Việc nhúng của anh ta là một thủ tục ngẫu nhiên đơn giản, nhưng nó tiến hành theo các bước và mỗi bước thành công với xác suất không đổi; sau mỗi bước bạn cần kiểm tra xem bước đó có thực sự thành công hay không và lặp lại nếu không. Nhúng Vì vậy Talagrand của thiếu một tính năng quan trọng của JLT: thực tế là có thể được chọn từ một phân phối mà không phụ thuộc vào . $f$ $S$

Rất gần đây, Woodruff và Sohler đã chứng tỏ là một tương tự như kết quả để Talagrand, nhưng với các tính năng bổ sung mà , giống như trong JLT, là một ánh xạ tuyến tính nhặt từ một độc lập phân phối : bạn cần phải chọn một ma trận nơi mỗi mục là một biến ngẫu nhiên iid Cauchy. Đây là tinh thần của các dự đoán ổn định của Indyk: Cauchy là 1 ổn định. $f$ $S$ $k \times d$

— Sasho Nikolov
nguồn