Sự cố Super Mario Galaxy

Giả sử Mario đang đi trên bề mặt của một hành tinh. Nếu anh ta bắt đầu đi bộ từ một địa điểm đã biết, theo một hướng cố định, trong một khoảng cách định trước, chúng ta có thể xác định nơi anh ta sẽ dừng lại nhanh như thế nào?

$P$$s$$P$$v$$p$$\ell$$P$$P$

$P$$s$$v$$\ell$

$P$$O(1)$$\ell$$P$

(Trong thực tế, độ dài đường dẫn không thực sự không bị ràng buộc; có giới hạn trên toàn cầu về số lượng bit cần thiết để thể hiện đầu vào. Nhưng việc nhấn mạnh vào đầu vào số nguyên đặt ra một số vấn đề số khá khó chịu - Làm thế nào để chúng ta tính toán chính xác ở đâu dừng lại? - vì vậy hãy bám vào đầu vào thực và số học thực chính xác.)

Có bất cứ điều gì không cần thiết được biết về sự phức tạp của vấn đề này?

$n$$[0,1]^2$$(0,1/2)$$(1,0)$$\lfloor \ell \rfloor$$\lfloor \ell \rfloor$$O(\log \ell)$$n$$\log \ell$

Vấn đề này rất rất khó khăn. Chúng ta có thể đơn giản hóa nó để làm cho nó dễ dàng hơn, như sau.

1. $P$$\pi$

2. Chúng ta có thể giả định rằng đa giác không thực sự là ba chiều, mà thay vào đó là "gấp đôi" của đa giác; Cái này trông hơi giống cái vỏ gối. Chúng ta có thể đơn giản hóa hơn nữa và giả sử rằng đa giác có các cạnh bằng nhau và song song; ví dụ như hình vuông, như trong trò chơi Astroids.

$O(\log(\ell))$

Nếu chúng ta không giả sử tính hợp lý, nhưng giả sử rằng đa giác là gấp đôi của một đa giác, thì chúng ta đang thảo luận về lý thuyết "cắt chuỗi trong bida phi lý". Dường như về cơ bản không có gì được biết đến ở đây; ví dụ xem câu cuối cùng của bài nói chuyện này của Corinna Ulcigrai.

Nếu chúng ta không đưa ra giả định, tốt, tôi không thể nghĩ bất cứ điều gì trong tài liệu.

$O(\log(\ell))$

Tôi nghĩ bạn có thể làm tốt hơn tuyến tính. Tôi chưa quen với khoa học máy tính lý thuyết, vì vậy hãy tha thứ cho tôi nếu đây là rác rưởi.

Một số ý tưởng chung (có giá trị khác nhau):

• Nếu chúng ta cho mỗi khía cạnh một biểu tượng, quỹ đạo của Mario trên chúng có thể được mô tả dưới dạng một chuỗi, trong đó biểu tượng cuối cùng trong chuỗi là câu trả lời.
• Chúng ta có thể giả định mà không mất tính tổng quát rằng Mario bắt đầu ở một cạnh (chỉ cần đi lùi và kéo dài l đến cạnh)
• Không gian 2D của các vị trí và góc bắt đầu có thể được phân vùng bởi cạnh tiếp theo. Vì vậy, bắt đầu từ cạnh a, x đơn vị từ dưới lên, với góc a, chúng ta kết thúc ở cạnh V sau khi vượt qua một khía cạnh.
• Tại thời điểm đó, chúng ta đang ở một cạnh khác với một định hướng khác, vì vậy chúng ta có thể gọi hàm đệ quy để chia không gian thành các phân vùng của chuỗi 2 ký hiệu, v.v.
• Tại thời điểm này, chúng tôi đã hoàn thành nếu chúng tôi nói rằng không gian phải được phân tách để giải quyết vấn đề trên TM. Điều đó có nghĩa là mọi quỹ đạo phải được định kỳ vì chỉ có nhiều điểm hữu hạn trên hành tinh rời rạc. Chúng ta có thể tính toán hàm được mô tả ở trên cho đến khi chúng ta có quỹ đạo cho tất cả các điểm bắt đầu và lưu trữ thông tin này. Sau đó, vấn đề trở thành O (1).
• Có lẽ đó là một chút của một cảnh sát ra. Một số googling nói với tôi rằng hầu hết các quỹ đạo bi-a bên trong các đa giác lồi hợp lý là định kỳ (nghĩa là các quỹ đạo định kỳ rất dày đặc). Vì vậy, đối với một hành tinh vuông (nói), cách tiếp cận tương tự có thể hoạt động.
• Một cách tiếp cận khác là xem xét hệ thống như một trình tạo / nhận dạng chuỗi (một lần nữa bằng cách gán cho mỗi khía cạnh biểu tượng riêng của nó). Nếu ngôn ngữ có một lớp phức tạp đã biết, đó là câu trả lời của bạn. Nếu bạn mở rộng họ đa giác thành không lồi và bất kỳ chiều nào, bạn có thể nắm bắt được một lớp ngôn ngữ rất rộng.

Đây không thực sự là một câu trả lời, nhưng tôi cần phải quay lại làm việc. :)