Học lượng tử PAC

Lý lịch

Các hàm trong là PAC có thể học được trong thời gian quasipolynomial với thuật toán cổ điển yêu cầu các truy vấn được chọn ngẫu nhiên O ( 2 l o g ( n ) O ( d ) ) để tìm hiểu mạch có độ sâu d [1]. Nếu không có thuật toán bao thanh toán 2 n o ( 1 ) thì đây là tối ưu [2]. Tất nhiên, trên một máy tính lượng tử, chúng ta biết cách tạo ra yếu tố, vì vậy giới hạn dưới này không giúp ích gì. Hơn nữa, thuật toán cổ điển tối ưu sử dụng phổ Fourier của hàm do đó hét lên "lượng tử hóa tôi!"$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour và N. Nisan. [1993] "Mạch độ sâu không đổi, biến đổi Fourier và khả năng học hỏi", Tạp chí ACM 40 (3): 607-620.

[2] M. Kharitonov. [1993] "Độ cứng mã hóa của việc học phân phối cụ thể", Kỷ yếu của ACM STOC'93, trang 372-381.

Trên thực tế, 6 năm trước, Scott Aaronson đã đưa khả năng học hỏi của là một trong mười Challanges Semi-Grand Challanges cho Lý thuyết tính toán lượng tử .$AC^0$

Câu hỏi

Câu hỏi của tôi là ba lần:

1) Có ví dụ nào về các họ chức năng tự nhiên mà máy tính lượng tử có thể học nhanh hơn máy tính cổ điển với các giả định về mật mã không?

2) Cụ thể đã có tiến triển nào về khả năng học hỏi của chưa? (hoặc T C 0 tham vọng hơn một chút )$AC^0$$TC^0$

3) Liên quan đến khả năng học hỏi của , Aaronson nhận xét: "khi đó máy tính lượng tử sẽ có lợi thế rất lớn so với máy tính cổ điển trong việc học các trọng số gần tối ưu cho các mạng thần kinh." Ai đó có thể cung cấp một tài liệu tham khảo về cách cập nhật trọng lượng cho mạng lưới thần kinh và mạch T C 0 liên quan không? (ngoài thực tế là các cửa ngưỡng trông giống như các nơ-ron sigmoid)$TC^0$$TC^0$ (Câu hỏi này đã được hỏi và trả lời rồi )

Tôi sẽ chụp một câu hỏi đầu tiên của bạn:

Có ví dụ nào về các họ chức năng tự nhiên mà máy tính lượng tử có thể học nhanh hơn máy tính cổ điển với các giả định về mật mã không?

Vâng, nó phụ thuộc vào mô hình chính xác và tài nguyên được giảm thiểu. Một lựa chọn là so sánh độ phức tạp của mẫu (đối với học PAC độc lập phân phối) của mô hình cổ điển tiêu chuẩn với mô hình lượng tử được đưa ra các mẫu lượng tử (nghĩa là thay vì được đưa vào một đầu vào ngẫu nhiên và giá trị hàm tương ứng, thuật toán được cung cấp với sự chồng chất lượng tử lên đầu vào và giá trị hàm của chúng). Trong cài đặt này, học PAC lượng tử và học PAC cổ điển về cơ bản là tương đương nhau. Giới hạn trên cổ điển về độ phức tạp của mẫu và lượng tử giới hạn dưới về độ phức tạp của mẫu gần như giống nhau, như được trình bày trong chuỗi các bài báo sau:

[1] R. Servedio và S. Gortler, Tương đương và tách biệt giữa lượng tử và khả năng học tập cổ điển, Tạp chí SIAM về Điện toán, tập. 02138, trang 1 Từ 26, 2004.

[2] A. Atici và R. Servedio, Giới hạn cải tiến về thuật toán học lượng tử, Xử lý thông tin lượng tử, Trang 1, 1818, 2005.

[3] C. Zhang, Mười Một cải thiện ràng buộc thấp hơn về độ phức tạp của truy vấn đối với việc học PAC lượng tử, Thư Xử lý Thông tin, Tập. 111, không. 1, trang 40 Vang45, tháng 12 năm 2010.

$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty và J. Jackson, học về DNF qua phân phối thống nhất bằng cách sử dụng một ví dụ lượng tử, Tạp chí SIAM về Điện toán, tập. 28, không 3, trang 1136 Vang1153, 1998.

[5] J. Jackson, C. Tamon, và T. Yamakami, xem lại khả năng học hỏi của Lượng tử DNF, Điện toán và Kết hợp, Trang 595 Phép.60, 2002.

[6] A. Atıcı và R. Servedio, Thuật toán lượng tử cho việc học và kiểm tra Juntas, Xử lý thông tin lượng tử, tập. 6, không 5, trang 323 Từ348, tháng 9 năm 2007.

Mặt khác, nếu bạn chỉ quan tâm đến mô hình PAC cổ điển tiêu chuẩn, sử dụng điện toán lượng tử làm công cụ xử lý hậu kỳ (nghĩa là không có mẫu lượng tử), thì Servedio và Gortler [1] đã quan sát thấy rằng có một lớp khái niệm do đối với Kearns và Valiant không thể được PAC học một cách kinh điển giả định độ cứng của bao thanh toán Blum, nhưng có thể được PAC học lượng tử bằng thuật toán của Shor.

Tình huống cho mô hình học tập chính xác của Angluin thông qua các truy vấn thành viên có phần giống nhau. Các truy vấn lượng tử chỉ có thể đưa ra một sự tăng tốc đa thức về độ phức tạp của truy vấn. Tuy nhiên, có một sự tăng tốc theo cấp số nhân trong độ phức tạp thời gian giả sử sự tồn tại của các hàm một chiều [1].

Tôi không có ý tưởng về câu hỏi thứ hai. Tôi cũng rất vui khi nghe thêm về điều đó.

Đây chắc chắn không phải là một câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi của bạn, nhưng hy vọng sẽ giúp với phần đầu tiên. Dường như đã có khá nhiều quan tâm trong việc sử dụng các thuật toán lượng tử để xác định các nhà tiên tri chưa biết. Một ví dụ về điều này là một bài báo gần đây của Floess, Andersson và Hillery ( arXiv: 1006.1423 ) điều chỉnh thuật toán Bernstein-Vazirani để xác định các hàm Boolean chỉ phụ thuộc vào một tập hợp con nhỏ của các biến đầu vào (juntas). Họ sử dụng phương pháp này để xác định hàm orory cho đa thức mức độ thấp (họ xử lý rõ ràng với các trường hợp tuyến tính, bậc hai và khối).