Các ví dụ trong đó cái nhìn sâu sắc từ hình học là hữu ích để giải quyết một cái gì đó hoàn toàn phi hình học


28

Một trong những điều tốt đẹp về việc tiến hóa trong vũ trụ với ba chiều không gian là chúng tôi đã phát triển các kỹ năng giải quyết vấn đề liên quan đến các vật thể trong không gian. Do đó, ví dụ, chúng ta có thể nghĩ một bộ ba số là một điểm trong 3-d và do đó tính toán về bộ ba số là tính toán về các điểm trong 3-d, sau đó có thể được giải quyết bằng trực giác của chúng ta về không gian. Điều này dường như cho thấy rằng đôi khi có thể giải quyết một vấn đề hoàn toàn phi hình học bằng cách sử dụng các kỹ thuật từ hình học. Có ai biết ví dụ như vậy?

Tất nhiên, các thuật ngữ 'hình học' và 'phi hình học' hơi mơ hồ ở đây. Người ta có thể lập luận rằng bất kỳ vấn đề hình học nào thực sự là phi hình học nếu bạn thay thế tất cả các điểm bằng tọa độ của chúng. Nhưng theo trực giác, định nghĩa là rõ ràng. Chúng ta hãy nói rằng chúng ta gọi một cái gì đó hình học nếu chúng ta xem xét việc gửi một bài báo về nó cho SoCG.


3
Tất nhiên, ông nội của điều này là cách tiếp cận P vs NP được Mulmuley vạch ra, hoàn toàn là hình học. Nhưng nó chưa được chứng minh là hữu ích. Bằng chứng tách P khỏi NC mà không cần thao tác bitwise một bằng chứng phi hình học sử dụng các đối số hình học. Tôi đã thêm điều đó, nhưng tôi đã cung cấp quá nhiều câu trả lời rồi :)
Suresh Venkat

rất nhiều ví dụ như vậy có thể được tìm thấy trong các bằng chứng mà không có phần từ của Tạp chí toán học Mỹ hàng tháng
Arjang

Câu trả lời:


24

Một vài ví dụ nữa:

Sleator, Thurston và Tarjan đã sử dụng một biểu diễn hình học của cây làm phân vùng của đa giác và hình học hyperbol, để chứng minh giới hạn thấp hơn cho phép quay cây nhị phân . (Ngoài ra, tôi tin rằng lịch sử của cây tìm kiếm nhị phân động có thể được biểu diễn dưới dạng tứ diện.)

Việc giảm tổ tiên ít phổ biến nhất trong phạm vi các truy vấn tối thiểu , do Berkman và Vishkin, liên quan đến vấn đề cấu trúc dữ liệu trên cây với một vấn đề hình học có thể tranh cãi. (và cảm ơn vì bài viết David)

Việc giảm một vấn đề lập lịch thành tập hợp hình chữ nhật song song trục độc lập trọng lượng tối đa [1] hoặc giảm một vấn đề lập lịch khác với bìa tập hình học [2] có thể đủ điều kiện.

Việc giảm vấn đề tiếp theo phổ biến lớn nhất đối với việc tìm các lớp cực đại là nổi tiếng (có nghĩa là tôi quá lười biếng để tìm kiếm ai thực sự nghĩ về nó).

[1] (Liane Lewin-Eytan, Joseph Seffi Naor và Ariel Orda)

[2] Nikhil Bansal, Kirk Pruhs. Hình học lập kế hoạch, FOCS 2010.

[chỉnh sửa sau] Một vài trường hợp nữa trong đó chế độ xem "hình học" có vẻ đáng ngạc nhiên (mặc dù các tiêu chuẩn "trình lên SoCG" hoặc "làm cho một cái gì đó để hình dung" có thể không được đáp ứng):

cấu trúc liên kết đại số áp dụng cho giới hạn dưới cho tính toán phân tán

kết hợp khả năng tính toán vào kích thước của Hausdorff

xác định khái niệm khoảng cách cho các nhóm, sau đó là âm lượng, sau đó tăng trưởng âm lượng như là một hàm của khoảng cách, sau đó sử dụng "tăng trưởng đa thức"


2
Bài báo của Nikhil là một ví dụ rất thú vị, bằng cách nào đó tôi đã quên mất.
Sasho Nikolov

3
Chào mừng bạn đến với cstheory, Ken :)
Suresh Venkat

1
Dường như không ai đề cập đến định lý phân tách phẳng ... Hóa ra đó là một hệ quả dễ dàng của định lý Koebe.
Sariel Har-Peled

2
Tôi ngạc nhiên không ai đề cập đến sự tương đương của tối ưu hóa và tách biệt cho lập trình tuyến tính và tác động của nó đối với tối ưu hóa tổ hợp. Cuốn sách của Grotschel, Lovasz và Schrijver có tựa đề "Thuật toán hình học và tối ưu hóa kết hợp".
Chandra Chekuri

1
Hai bài báo quan trọng liên quan đến cấu trúc liên kết đại số với điện toán phân tán (đã giành giải thưởng Gôdel năm 2004) là: * Maurice Herlihy và Nir Shavit, Hồi Cấu trúc cấu trúc liên kết của tính toán không đồng bộ, JACM 46, 6 (1999). * Michael Saks và Fotios Zaharoglou, Thỏa thuận k-Set chờ đợi miễn phí là không thể: Cấu trúc liên kết của kiến ​​thức công cộng, Hồi SIAM J. Máy tính 29, 5 (2000).
Diego de Estrada

15

Tất nhiên, một câu trả lời tốt hơn nhiều so với câu trả lời trước đây của tôi là việc sử dụng lý thuyết nhúng số liệu để giải quyết cắt giảm ít nhất. Một bước quan trọng trong các giải pháp cho vấn đề cắt sparsest đã hiểu ra rằng nó có thể được xấp xỉ bằng cách tìm một nhúng tốt của một thước đo chung vào một không gian -normed1 .


Bạn có thể vui lòng trích dẫn giấy?
người dùng

1
@user đây bạn đi.
Suresh Venkat

12

Chúng cũng được đề cập ở một nơi khác, nhưng một ví dụ tôi thích là: sắp xếp với thông tin một phần là vấn đề tìm một phần mở rộng tuyến tính không xác định cố định của một vị trí, đưa ra vị trí và sử dụng số lượng truy vấn so sánh càng gần với lý thuyết thông tin giới hạn dưới (đây chỉ là sắp xếp khi số lượng so sánh là số đo độ phức tạp tới hạn và một số so sánh được đưa ra miễn phí). Sự tồn tại của các chiến lược so sánh tối ưu (lên đến một hằng số) đã được chứng minh bởi Saks và Kahn cách sử dụng các thuộc tính của đa giác trật tự, một đa giác đặc biệt liên quan đến một vị trí (bạn có thể tìm thấy một giải thích tuyệt vời trong các bài giảng của Matousek trên các bài giảng Hình học rời rạc). Các thuật toán thời gian đa thức đầu tiên (bởi Kahn và Kim) tính toán một chiến lược so sánh tối ưu (tối đa không đổi) một lần nữa sử dụng các thuộc tính của đa giác bậc cũng như đa giác ổn định của đồ thị không thể so sánh của vị trí đầu vào.


11

Có một bài báo tương đối gần đây của Demaine và cộng sự sử dụng biểu diễn hình học của cây tìm kiếm nhị phân để nâng cao trạng thái của nghệ thuật về sự tối ưu năng động. Tôi hơi mơ hồ ở đây vì họ không giải quyết được phỏng đoán DO: nhưng họ củng cố một số giới hạn và đưa ra một số hiểu biết mới xuất hiện từ công thức hình học.


11

Tôi không nghĩ có bất kỳ ví dụ về những điều như vậy. Ngoại trừ lập trình tuyến tính, lập trình bán xác định, số phức, phân số lớn của máy học, v.v. Câu hỏi thực sự là http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso .


5
bất kỳ câu trả lời nào liên quan đến Monty Python đều xứng đáng được thêm điểm :)
Suresh Venkat

9

Có một bài viết hay tại POPL năm ngoái, EigenCFA: Tăng tốc phân tích dòng chảy với GPU , đại diện cho các thuật ngữ lambda như ma trận và sau đó sử dụng GPU để thực hiện nhanh chóng phân tích dataflow trên chúng.

Bài báo đã không chỉ ra điều này một cách rõ ràng, nhưng về cơ bản những gì họ đang làm là khai thác cấu trúc phân loại của không gian vectơ để thể hiện cây. Đó là, trong lý thuyết tập hợp thông thường, một cái cây (có chiều cao cố định) là một liên kết tách rời nhau của các sản phẩm cartesian.

Tuy nhiên, không gian vectơ cũng có các sản phẩm và tổng trực tiếp, vì vậy bạn cũng có thể biểu diễn một cây như một phần tử của không gian vectơ phù hợp. Hơn nữa, các sản phẩm trực tiếp và tổng trực tiếp trùng khớp với không gian vectơ - tức là chúng có cùng đại diện. Điều này mở ra cánh cửa cho việc triển khai song song: vì các biểu diễn vật lý là như nhau, rất nhiều phân nhánh và đuổi theo con trỏ có thể được loại bỏ.

Nó cũng giải thích tại sao phân tích dataflow là khối thời gian: đó là máy tính điện tử!


Bạn có bất kỳ ví dụ nào khác mà thủ thuật không gian vectơ cây này được sử dụng không? Giấy EigenCFA đòi hỏi quá nhiều nền tảng để hiểu.
Chao Xu

Nếu tôi hiểu chính xác, mối quan hệ cây / vectơ chỉ là chuyển đổi cây thành vectơ bằng cách liệt kê các nhãn của giao dịch đặt hàng trước của cây?
Chao Xu

8

Trong mạng, các bộ định tuyến sử dụng các TCAM (bộ nhớ có thể định địa chỉ nội dung - nói cách khác, bộ nhớ có thể định địa chỉ nội dung với một chút không quan tâm) để phân loại lưu lượng. Các mục trong TCAM thường là các quy tắc khớp tiền tố đa chiều: ví dụ: (101 *, 11 *, 0 *) khớp với bất kỳ gói nào trong đó trường tiêu đề đầu tiên bắt đầu bằng 101 và trường tiêu đề thứ hai bắt đầu bằng 11 (và v.v.) một gói không khớp với quy tắc đầu tiên, nó tiếp tục đến quy tắc thứ hai và cứ thế cho đến khi tìm thấy quy tắc phù hợp.

dRd+1d+1Rd+1dd+1

Đối với những người kết nối mạng, cách giải thích này rất hữu ích để hiểu những gì một bộ quy tắc cụ thể làm. Đối với các nhà lý thuyết, có những cách sử dụng thú vị khác. Theo Thuật toán phân loại gói của Gupta và McKeown, việc giải thích hình học cho phép chúng tôi nhanh chóng thiết lập giới hạn dưới và trên cho vấn đề phân loại gói. Tôi biết công việc về tối thiểu hóa quy tắc TCAM (tìm số quy tắc nhỏ nhất bảo tồn ngữ nghĩa) cũng đã được hưởng lợi từ cách tiếp cận hình học. Có rất nhiều tài liệu tham khảo tôi có thể cung cấp cho điều này, nhưng tài liệu tham khảo có thể được sử dụng nhiều nhất cho bạn là Applegate, và SODA 2007, nén hình ảnh trực tuyến và giảm thiểu danh sách kiểm soát truy cập. Họ chứng minh rằng việc giảm thiểu một biến thể chung hơn của các quy tắc khớp tiền tố ở trên là NP-hard và kết nối nó (một lần nữa) với các hình ảnh đẹp của hình chữ nhật để giải quyết vấn đề!


8

Tôi ngạc nhiên không ai nói Thuật toán Euclide để tìm ra yếu tố chung lớn nhất giữa hai số. Bạn có thể giải quyết vấn đề bằng cách vẽ một hình chữ nhật axb, sau đó chia hình chữ nhật theo hình vuông được tạo bởi cạnh nhỏ nhất, lặp lại cho hình chữ nhật còn lại, tiếp tục lặp lại cho hình chữ nhật còn lại cho đến khi bạn tìm thấy một hình vuông có thể chia đều một hình chữ nhật còn lại (xem ảnh động trên trang Thuật toán Euclide).

Cách khá thanh lịch để cố gắng tìm ra cách thức hoạt động của nó, IMO.


3
Tôi nghĩ rằng Euclid sẽ lập luận rằng các con số không đủ điều kiện là "hoàn toàn phi hình học"!
Jeffε

7

Có lẽ có quá nhiều ví dụ để liệt kê, nhưng một ví dụ cổ điển (được Aigner và Ziegler nhấn mạnh là " Bằng chứng từ cuốn sách ") là việc Lovász sử dụng một biểu diễn hình học để giải quyết vấn đề trong khả năng của Shannon. Mặc dù bằng chứng được công bố vào năm 1979 và đã giải quyết một câu hỏi mở từ năm 1956, đây vẫn là một công nghệ tiên tiến nhất.


6

Liên quan các mã sửa lỗi với lưới, đóng gói hình cầu, vv (ví dụ, cuốn sách Conway và Sloane). Tuy nhiên, mối quan hệ này rất mạnh mẽ, đến nỗi nó không hoàn toàn rõ ràng, nếu tôi nên gọi mã sửa lỗi hoàn toàn không phải là hình học, sau đó ...


4

Các kỹ thuật giảm mạng, như LLL hoặc PSLQ , có tính hình học cao và giải quyết các vấn đề của lý thuyết số thuần túy, chẳng hạn như xấp xỉ Diophantine tuyến tính và phát hiện quan hệ số nguyên.

ZZ



1

Các kk

Tất nhiên, bằng chứng là cấu trúc liên kết nhiều hơn hình học, nhưng trong chiều thấp, nó có một hình ảnh hình học rõ ràng. Theo hiểu biết tốt nhất của tôi, không có bằng chứng kết hợp thuần túy (nghĩa là bằng chứng mà bạn có thể giải thích cho một người từ chối nghe bất cứ điều gì về cấu trúc liên kết) tồn tại.





-3

Một Integral Definite của một hàm có thể được biểu diễn dưới dạng các khu vực có chữ ký của các khu vực giới hạn bởi đồ thị của nó.


4
Đúng, ngoại trừ "có thể được biểu thị là" nên đánh vần "là".
Jeffε
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.