Làm thế nào nội tại là thuật ngữ trong thời gian chạy để xây dựng -nets trong không gian phạm vi của kích thước VC d?

Một -net cho một không gian phạm vi (X, \ mathcal {R}) là một tập hợp con N của X mà N \ nắp R là rỗng cho tất cả R \ in \ mathcal {R} như vậy | X \ nắp R | \ ge \ varepsilon | X | .$\varepsilon$$(X,\mathcal{R})$$N$$X$$N\cap R$$R\in \mathcal{R}$$|X\cap R| \ge \varepsilon |X|$

Cho một không gian phạm vi $(X,R)$ của kích thước VC $d$ , một $\varepsilon$ -net có kích thước $O\left(\frac{d}{\varepsilon}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)$ có thể được tính trong thời gian $O(d)^{3d}\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\log\left(\frac{d}{\varepsilon}\right)\right)^d|X|$(xem [1], Thm 4.6).

Ở mức độ nào thì thuật ngữ $O(d)^{3d}$ thực chất cho vấn đề này? Cụ thể, nó có thể được cải thiện thành $2^{O(d)}$ không? Có giới hạn dưới được biết đến?

Một câu hỏi liên quan: có những điều kiện chung về $(X,R)$ mà sự cải thiện như vậy được biết là tồn tại?

[1] Bernard Chazelle. Phương pháp sai lệch. 2000.

Nếu bạn ổn với thuật toán ngẫu nhiên, thì bạn chỉ có thể lấy mẫu ngẫu nhiên các điểm và đây sẽ là một -net với xác suất ít nhất là . $O((d/\epsilon) \log (d/\epsilon \delta))$$\epsilon$$1-\delta$

Đối với thuật toán xác định, tôi tin rằng thuật ngữ xuất phát từ lý do sau. Trước tiên, bạn phân vùng toàn bộ tập hợp của mình thành các tập hợp con có kích thước khoảng trong đó là kích thước của -net mà bạn hy vọng sẽ nhận được cuối cùng. Sau đó, bạn hợp nhất hai tập con như vậy và giảm xuống một nửa kích thước đó. (Về cơ bản, điều này được lặp lại cho đến khi còn lại một bộ.) Bước giảm về cơ bản xem xét tất cả các phạm vi thú vị của bộ kích thước . Theo giới hạn của VC, có khoảng và bạn cần "kiểm tra" từng phạm vi này để xem nó có bị tấn công hay không. Các có trong đó. các$d^{O(d)}$$s = O((d/\epsilon) \log (d/\epsilon))$$s$$\epsilon$$2s$$O((2s)^d)$$s^d$$d^{O(d)}$$d$trong thuật ngữ là cần thiết. Vì vậy, để giảm ràng buộc này, bằng cách sử dụng khung xác định này, bằng cách nào đó bạn sẽ cần phải "kiểm tra" tất cả các phạm vi mà không liệt kê rõ ràng chúng. Điều này có vẻ khó thực hiện một cách xác định, nhưng tôi không chắc là tôi biết ràng buộc thấp hơn rõ ràng - hầu hết các công việc trong lĩnh vực này đều cho rằng là không đổi và lạm dụng điều này rất nhiều. $s$$d$