Những nơi mà thứ tự các điểm dọc theo một đa giác đơn giản đi qua chúng là hữu ích

Chúng ta biết rằng việc tìm vỏ lồi của điểm trên mặt phẳng có giới hạn dưới của trong thời gian chạy. Tuy nhiên, nếu các điểm được đưa ra theo thứ tự xuất hiện dọc theo một số đa giác đơn giản có các điểm đó là các đỉnh của nó, thì thân tàu lồi của chúng có thể được tìm thấy trong thời gian tuyến tính.$n$$\Omega(n\log n)$

Tôi thấy điều này hấp dẫn bởi vì có lẽ có quá nhiều đa giác đơn giản có các điểm đã cho là các đỉnh của chúng và do đó, theo trực giác, thứ tự dọc theo một trong số chúng nghe có vẻ như là một thông tin rất vô dụng. Tuy nhiên, nó giúp.

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, có nơi nào khác mà thông tin tương tự giúp giảm thời gian chạy của thuật toán không?

Về phía, tôi cũng muốn biết giới hạn về số lượng hoán vị của một tập hợp các điểm đã cho trên một mặt phẳng có một đa giác đơn giản với các điểm đó là các đỉnh của nó sao cho thứ tự các điểm xảy ra dọc theo đa giác là giống như thứ tự trong hoán vị. Những gì đã biết về điều này?

Nhận xét của bạn rằng "có thể có quá nhiều đa giác đơn giản" là chìa khóa, bởi vì thực sự không có nhiều. điểm cóđường dẫn (hoán vị) và đa giác nếu chúng ta cho phép tự giao nhau - nghĩa là, .$n$$n!$$(n-1)!/2$$2^{\Theta(n \log n)}$

Số lượng đường dẫn hoặc đa giác không có giao điểm tự là , quan sát dễ dàng nhất từ ​​thực tế các đường dẫn và đa giác như vậy có thể được hoàn thành theo hình tam giác, số lượng tam giác của một điểm đã cho trong mặt phẳng là [Sharir-Sheffer'09, mới nhất trong lịch sử lâu dài] và số lượng tập hợp con các cạnh của mỗi tam giác là .$2^{\Theta(n)}$$<30^n$$<2^{3n-6}$

Vỏ lồi của đa giác đơn giản là một trong những điều yêu thích của tôi kể từ khi sử dụng nó để tìm và / hoặc công thức cho đa giác trong SIGGRAPH'88 http://dx.doi.org/10.1145/54852.378472