Sự tương đương của hai định nghĩa về tính đầy đủ và sự lành mạnh trong các hệ thống chứng minh tương tác

Tính đầy đủ và âm thanh trong các hệ thống bằng chứng tương tác được định nghĩa không chính thức là:

Đầy đủ: Nếu một tuyên bố là đúng, trung thực Prover có thể thuyết phục thành thật xác minh thực tế này WHP .
Tính đúng đắn: Nếu một tuyên bố là sai, người hoạt động gian lận không thể thuyết phục được người xác minh trung thực (về tính hợp lệ của tuyên bố sai)

Thuật ngữ "whp" được hiểu là "với xác suất lớn hơn (giả sử) 2/3" hoặc "với xác suất lớn hơn đối ứng của bất kỳ đa thức nào". Có vẻ như không quan trọng đối với các cuộc thảo luận sau đây là cách giải thích "whp" để chọn.

Phần khó khăn là cách xác suất được tính toán: Trong một số nguồn, xác suất được lấy qua các đồng tiền ngẫu nhiên của cả người hoạt động và người xác minh. Trong các nguồn khác, xác suất chỉ được tính trên các đồng tiền ngẫu nhiên của người xác minh. Điều thứ hai thường được biện minh là: "bất kể đồng tiền ngẫu nhiên của người hoạt ngôn là gì, người xác minh đưa ra quyết định đúng đắn".

Đối với tôi, cả hai định nghĩa về xác suất có vẻ tương đương; nhưng tôi không thể chứng minh điều này. Tôi có đúng không Bạn có thể chứng minh chúng tương đương?

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Đáng kinh ngạc
nguồn

bạn cũng nên xem xét nếu bạn đang đề cập đến tiền "công khai" hoặc tiền "riêng tư". Trong cài đặt đồng xu công khai, cả người xác minh và người xác minh đều biết kết quả của các lựa chọn ngẫu nhiên và đối với đồng tiền riêng, người hoạt động không biết các lựa chọn ngẫu nhiên của người xác minh. Trong trường hợp sau này, bạn chỉ quan tâm đến những gì người xác minh làm mà không cần nhìn vào người hoạt động bởi vì người hoạt động chỉ đơn giản là không biết việc tung đồng xu ngẫu nhiên.

— Marcos Villagra

@Marcos: Hãy xem định nghĩa ban đầu của bằng chứng tương tác, đó là đồng tiền "riêng tư" trong tự nhiên. Câu cuối cùng của cột đầu tiên trên trang 293, được gạch chân, nói rằng "xác suất chỉ được thực hiện trên các lần tung đồng xu của B". (Ở đây, B là người xác minh.) Mặt khác, phiên bản nhật ký của bài báo nói trên cho phép xác suất được thực hiện đối với việc tung đồng xu của cả hai bên. Đây có thể là nguồn gốc của sự nhầm lẫn, phải không?

— MS Dousti

@Sadeq: Tôi thấy, tôi không biết về sự khác biệt giữa tạp chí và các phiên bản hội nghị. Tuy nhiên, đối với các đồng tiền riêng tư, tôi không thấy điểm nào trong việc tính đến các đồng xu prover tung, bởi vì anh ta có thể quyết định không nói cho người xác minh về nó. Người xác minh là người chịu trách nhiệm quyết định chấp nhận hoặc từ chối, và anh ta có thể không biết người hoạt ngôn đang làm gì.

— Marcos Villagra

@Marcos: Bạn nói đúng, nhưng lý do tương tự cũng đúng với bằng chứng về tiền công khai; vì trong các hệ thống đó, các lần tung đồng xu prover vẫn ở chế độ riêng tư (chỉ các đồng xu của người xác minh là công khai). Nói chung, người ta có thể xem xét một người hoạt ngôn xác định: Vì người hoạt động là toàn năng, anh ta không cần sự ngẫu nhiên và có thể chọn câu trả lời tối ưu một cách xác định. Tuy nhiên, loại lý luận này không hoạt động nếu chúng ta xem xét các hệ thống không có kiến thức, trong đó chiến lược của người hoạt động nên có xác suất (nếu không, kiến thức của anh ta sẽ bị rò rỉ).

— MS Dousti

(Cont'd) Nếu prover là ngẫu nhiên, thì tôi nghĩ rằng công thức thích hợp là tính xác suất cho cả hai lần tung đồng xu của người hoạt động và người xác minh: Trong khi như Marcos nói, người xác minh chịu trách nhiệm về quyết định cuối cùng, quyết định của cô ấy là được thực hiện (trong số những người khác) dựa trên các thông điệp đến từ người hoạt ngôn. Với thực tế là người hoạt động là ngẫu nhiên, việc tung đồng xu của anh ta chắc chắn ảnh hưởng đến các thông điệp anh ta gửi. Do đó, việc tung đồng xu của người hoạt động ảnh hưởng đến xác suất chấp nhận. Tôi có đúng không

— MS Dousti

Câu tục ngữ là "toàn năng và sở hữu tài nguyên tính toán không giới hạn" nên không cần bit ngẫu nhiên. Do đó, tính ngẫu nhiên duy nhất là tính ngẫu nhiên của trình xác minh.

Nếu người hoạt động sử dụng các bit ngẫu nhiên, thì nên thay thế chúng bằng chuỗi bit ngẫu nhiên có khả năng khiến người xác minh chấp nhận (điều này đúng cho cả người hoạt động trung thực và bất kỳ người trung thực không trung thực nào). Hơn nữa, người hoạt động có thể xác định chuỗi bit tối ưu này bởi vì người hoạt động là "toàn năng".

— Tyson Williams
nguồn

Như tôi đã nói trong một nhận xét ở trên, điều này chỉ đúng khi bạn xem xét bằng chứng tương tác một mình. Tuy nhiên, mọi thứ sẽ rất khác nếu bạn tính đến các thuộc tính khác, chẳng hạn như "kiến thức không" được kết nối tự nhiên với bằng chứng tương tác.

— MS Dousti

Tiếp tục: Cụ thể, Oren đã chứng minh những điều sau: "... theo định nghĩa phụ trợ đầu vào của kiến thức không, tính ngẫu nhiên của người hoạt động là điều cần thiết cho sự không tầm thường của hệ thống chứng minh không kiến thức. Nói cách khác, bất kỳ ngôn ngữ nào trong đó có một hệ thống chứng minh kiến thức không đầu vào phụ trợ, trong đó người hoạt động có tính quyết định đối với BPP. " (Xem phần 4.5 của Oren để biết thêm thông tin.) Do đó, bạn không thể luôn cho rằng P là xác định.

— MS Dousti