Độ phức tạp của các thuộc tính tô pô.

Tôi là một nhà khoa học máy tính đang tham gia một khóa học về cấu trúc liên kết (một cấu trúc liên kết điểm tập trung nhiều hương vị với lý thuyết liên tục). Tôi đã trở nên quan tâm đến các vấn đề quyết định kiểm tra một mô tả về một không gian (bằng cách đơn giản) cho các thuộc tính tô pô; những người bảo tồn đến đồng nhất.

Được biết, ví dụ, việc xác định chi của một nút là trong PSPACE và là NP-Hard. (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

Các kết quả khác có thêm một cảm giác tổng quát hơn: AA Markov (con trai của các Markov) cho thấy vào năm 1958 rằng thử nghiệm hai không gian cho một phép đồng phôi trong kích thước hoặc cao hơn là undecidable (bằng cách hiển thị các undecidability cho 4-đa tạp). Thật không may, ví dụ cuối cùng này không phải là một ví dụ hoàn hảo cho câu hỏi của tôi, vì nó liên quan đến vấn đề cân bằng cơ thể hơn là các đặc tính được bảo tồn dưới sự đồng nhất.$5$

Dường như có một lượng lớn công việc trong "cấu trúc liên kết chiều thấp": lý thuyết nút và đồ thị. Tôi chắc chắn quan tâm đến kết quả từ cấu trúc liên kết chiều thấp, nhưng quan tâm nhiều hơn đến kết quả tổng quát (những điều này dường như rất hiếm).

Tôi quan tâm nhất đến các vấn đề trung bình là NP-Hard, nhưng cảm thấy được khuyến khích liệt kê các vấn đề không được biết là như vậy.

Những kết quả nào được biết về độ phức tạp tính toán của các thuộc tính tôpô?

Cấu trúc liên kết tính toán bao gồm một cơ thể lớn của nghiên cứu. Một bản tóm tắt đầy đủ về mọi kết quả phức tạp sẽ là không thể. Nhưng để cho bạn một hương vị nhỏ, hãy để tôi mở rộng trên ví dụ của bạn.

$O(n)$

Năm 1950, Turing đã chứng minh rằng vấn đề từ ngữ trong các nhóm bán kết được trình bày chính xác là không thể giải quyết được, bằng cách giảm từ vấn đề tạm dừng (bất ngờ, ngạc nhiên).

Dựa trên kết quả của Turing, Markov đã chứng minh vào năm 1951 rằng mọi tài sản không cần thiết của các nhóm bán kết được trình bày chính xác là không thể sử dụng được. Một tài sản của các nhóm là không cần thiết nếu một số nhóm có tài sản và một số nhóm khác thì không. Các nhà khoa học máy tính lý thuyết biết kết quả tương tự về các chức năng một phần là "Định lý Rice".

Năm 1952, Novikov đã chứng minh rằng vấn đề từ ngữ trong các nhóm được trình bày chính xác là không thể giải quyết được, do đó chứng minh rằng trực giác của Dehn là chính xác. Kết quả tương tự đã được Boone chứng minh độc lập vào năm 1954 và Britton vào năm 1958.

Năm 1955, Adyan chứng minh rằng tất cả các tài sản không tầm thường của hữu hạn-giới nhóm là undecidable. Kết quả tương tự đã được chứng minh độc lập bởi Rabin vào năm 1956. (Vâng, Rabin đó .)

Cuối cùng, vào năm 1958, Markov đã mô tả các thuật toán để xây dựng các phức ô 2 chiều và các đa tạp 4 chiều với bất kỳ nhóm cơ bản mong muốn nào, đưa ra cách trình bày nhóm làm đầu vào. Kết quả này ngay lập tức ngụ ý rằng một số lượng lớn các vấn đề tô pô là không thể giải quyết được, bao gồm:

• Là một chu kỳ nhất định trong một phức hợp 2 chiều nhất định có hợp đồng không? (Đây là vấn đề từ.)
• Là một phức 2 cho trước kết nối đơn giản? ("Nhóm này có tầm thường không?")
• Là một chu kỳ nhất định trong một hợp đồng 4 đa dạng nhất định?
• Là một 4-đa dạng cho hợp đồng?
• Là một cấu trúc đồng nhất 4 đa dạng cho một đa tạp 4 cụ thể (được xây dựng bởi Markov)?
• Là một hình dạng đồng nhất 5 đa chiều cho hình cầu 5 (hoặc bất kỳ 5 đa tạp cố định nào khác mà bạn chọn)?
• Là một phức 6 cho trước một đa tạp?

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

Ryan Budney đã bắt đầu các cuộc thảo luận tương tự tại MathOverFlow:

https://mathoverflow.net/questions/35946/how-Exensive-is-ledgeledge-knots-links-3-and-4-manifold-alacticms

https://mathoverflow.net/questions/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-alacticmic-oul-simplification/145927

và tại Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology