Liệu đường chéo có nắm bắt được bản chất của tách lớp?

11

Tôi không nhớ đã thấy một sự tách lớp không dựa trên kết quả đường chéo và tương đối hóa. Đường chéo vẫn có thể được sử dụng để phân tách các lớp đã biết còn lại, bởi vì các đối số không tương đối hóa vẫn có thể được sử dụng trong kết luận đường chéo hoặc trong cấu trúc máy Turing chéo. Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

Có bằng chứng tách lớp không dựa trên đường chéo?

Và nếu như vậy

Chúng ta có thể tìm thấy một cơ chế tự tham khảo đằng sau chúng?

Thêm nữa,

có phải mọi sự tách lớp đều có một bằng chứng "tự nhiên chính tắc" (theo nghĩa không chính thức) không?

Nếu vậy, chúng ta nên cố gắng tìm các đối số không tương đối, thay vì các sơ đồ chứng minh khác cho các câu hỏi mở.

Có thể viết lại mọi bằng chứng không đường chéo thành một đường chéo không?

— Ludovic Patey
nguồn

Tôi đã chỉnh sửa câu hỏi để cố gắng đọc dễ hơn. Xin lỗi nếu tôi đã thay đổi ý định của bạn.

— András Salamon

@ András Cảm ơn bạn cho phiên bản của bạn. Tôi thường không rõ ràng. Có một sự thay đổi: Tôi có nghĩa là đường chéo không thất bại bởi vì bên trong nó, chúng ta có thể sử dụng các đối số không tương đối hóa. Tôi nghĩ rằng tương đối hóa và đường chéo là trực giao. Và tôi không nghĩ rằng bằng chứng không sử dụng đường chéo sẽ sử dụng cơ chế tự tham chiếu sâu, nhưng chỉ khi hiểu sâu về bằng chứng, chúng ta mới có thể khám phá ra cơ chế tự tham chiếu không thể xóa được ^^. Tôi sẽ xem xét lại những điểm đặc biệt đó.

— Ludovic Patey

Một số bài viết liên quan: bằng chứng, rào cản và P vs NP , các bằng chứng cho thấy vĩnh viễn không có trong đồng phục tương đối không?

T C^{0}

$TC^0$ , kết quả trong lý thuyết phức tạp sử dụng thiết yếu của tính đồng nhất?

— Kaveh

15

Phụ thuộc vào cách bạn chính thức hóa đường chéo. Kozen có một bài báo cho thấy bất kỳ sự phân tách lớp phức tạp nào cũng phải là một bằng chứng đường chéo.

— Lance Fortnow
nguồn

+1 Tôi nghĩ rằng tôi đã đọc nó trong blog của bạn và tôi đang chờ câu trả lời của bạn :)

— Mohammad Al-Turkistany

5

Kể từ khi chéo hóa tương đối hóa, bất kỳ kết quả phức tạp nào ngụ ý tương đối hóa mâu thuẫn có thể được dựa trên đường chéo. Trích dẫn Arora-Barak :

Các kết quả được chứng minh chỉ bằng cách sử dụng đường chéo tương đối hóa theo nghĩa là chúng cũng giữ cho TM có quyền truy cập orory vào , cho mọi lời tiên tri . Chúng ta có thể sử dụng điều này để chỉ ra những hạn chế của các phương pháp đó. Cụ thể, một mình các phương pháp tương đối hóa không thể giải quyết câu hỏi P so với NP. $O$ $O \subseteq \{0, 1\}^*$

Một kỹ thuật phân tách chính không tương đối hóa là chứng minh giới hạn mạch thấp hơn. Chẳng hạn, chúng ta biết rằng tất cả các vấn đề trong đều có mạch đa thức. Mặt khác, nếu chúng tôi chứng minh rằng một vấn đề có mạch siêu đa thức (nghĩa là hiển thị giới hạn siêu đa thức thấp hơn), thì . Thật không may, Razborov và Rudich cho thấy kỹ thuật này khó có thể giải quyết vấn đề P so với NP. (Xem bằng chứng tự nhiên ). Một đột phá gần đây trong phân tách lớp dựa trên việc chứng minh giới hạn mạch thấp hơn được thảo luận trong [1] và [2] . $P$ $NP$ $P\ne NP$

Một kỹ thuật chính khác không tương đối hóa là tính toán. Kỹ thuật này lần đầu tiên được sử dụng để chứng minh rằng ( Lund và cộng sự ), và sau đó để chứng minh IP = PSPACE . Kỹ thuật này đã được chứng minh là không đủ để giải quyết P vs NP bởi Aaronson và Wigderson (được gọi là hàng rào cách ly ). $P^{PH} \subseteq IP$

— MS Dousti
nguồn

2

Lưu ý rằng Baker, Gill và Solovay không nói rằng đường chéo không thể hoạt động, nhưng đã đưa ra một tuyên bố mang nhiều sắc thái hơn "Có vẻ như các phương pháp đường chéo thông thường là không phù hợp".

— András Salamon

@Sadeq Tôi không đồng ý rằng đường chéo tương đối hóa. Ví dụ: bạn có thể xác định một máy chéo dựa trên một thuộc tính có thuộc tính địa phương tính toán tài khoản, không tương đối hóa.

— Ludovic Patey

Algebrization không phải là một kỹ thuật, mà là một khái niệm tương tự như thuyết tương đối hóa. Tôi cho rằng bạn có nghĩa là sự cân bằng thay thế. Và mối liên hệ với bằng chứng tự nhiên là gì?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

1

@Sadeq: BGS rõ ràng cho phép định nghĩa bao quát hơn về đường chéo so với Arora-Barak dường như có ý định. Nếu một nhà lý thuyết tập hợp như Robert Solovay nghĩ rằng có thể có những khái niệm khác về đường chéo không tương đối hóa, thì có lẽ chúng ta nên để khả năng đó mở. Lưu ý trang 75 của A & B không loại bỏ khả năng một số loại đường chéo sử dụng một thực tế không liên quan đến máy Turing; bản thảo Arora-Impagliazzo-Vazirani vẫn chưa được công bố chỉ ra rằng có những vấn đề khá tinh tế liên quan. cseweb.ucsd.edu/~russell/ias.ps

— András Salamon

1

Có một số tranh luận về vấn đề này: xem ví dụ phản hồi của Fortnow đối với bài báo AIV: people.cs.uchicago.edu/~fortnow/ con / Relative.pdf

— Suresh Venkat

5

Để thêm vào câu trả lời của Fortnow, tiếp tục công việc của Kozen, Nash, Impagliazzo và Remmel đã chính thức hóa một khái niệm về đường chéo mạnh mẽ và đưa ra một số bằng chứng cho thấy nó không tương đối. Để trả lời một phần câu hỏi đầu tiên của bạn, kết quả của họ cho thấy rằng một số bằng chứng tách lớp không thể dựa trên đường chéo mạnh. Đây là bản tóm tắt:

Chúng tôi xác định và nghiên cứu đường chéo mạnh và so sánh nó với đường chéo yếu, ẩn trong [7]. Kết quả của Kozen trong [7] cho thấy hầu như mọi sự phân tách đều có thể được thu lại dưới dạng đường chéo yếu. Chúng tôi cho thấy rằng có những lớp ngôn ngữ không thể tách rời bằng cách chéo hóa mạnh và cung cấp bằng chứng cho thấy đường chéo mạnh không tương đối hóa. Chúng tôi cũng xác định hai loại đường chéo gián tiếp và nghiên cứu sức mạnh của chúng.

Vì chúng tôi xác định đường chéo mạnh về các ngôn ngữ phổ quát, chúng tôi nghiên cứu độ phức tạp của chúng. Chúng tôi phân biệt và so sánh các ngôn ngữ phổ quát yếu và nghiêm ngặt. Cuối cùng, chúng tôi phân tích một số biến thể rõ ràng yếu hơn của các ngôn ngữ phổ quát, mà chúng tôi gọi là ngôn ngữ giả, và cho thấy rằng trong điều kiện đóng cửa yếu, chúng dễ dàng tạo ra các ngôn ngữ phổ quát.

1-Nash, A., Impagliazzo, R., Remm; J. "Ngôn ngữ phổ quát và sức mạnh của đường chéo." Hội nghị IEEE thường niên lần thứ 18 về Độ phức tạp tính toán (CCC'03), tr. 337, 2003.

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

5

Có bằng chứng tách lớp không dựa trên đường chéo?

Có, có, nhưng không cho các lớp phức tạp thống nhất. Chúng tôi không có một lập luận để loại trừ các bằng chứng như vậy nhưng cho đến nay, tất cả các khoảng cách giữa các lớp phức tạp thống nhất dường như sử dụng đường chéo ở một số nơi.

Chúng ta có thể tìm thấy một cơ chế tự tham khảo đằng sau chúng?

Tôi không nghĩ các phân tách lớp phức tạp không đồng nhất có thể được chuyển thành các đối số "tự tham chiếu" vì chúng không phải là các lớp thống nhất và không thể được liệt kê, và đối với một đối số tự tham chiếu, chúng ta cần liệt kê các thành viên của lớp.

có phải mọi sự tách lớp đều có một bằng chứng "tự nhiên chính tắc" (theo nghĩa không chính thức) không?

Phụ thuộc vào những gì bạn có nghĩa là "kinh điển". AFAIK, không có bất kỳ sự đồng thuận nào về câu trả lời cho câu hỏi "khi hai bằng chứng về bản chất là giống nhau?".

Nếu vậy, chúng ta nên cố gắng tìm các đối số không tương đối, thay vì các sơ đồ chứng minh khác cho các câu hỏi mở. Có thể viết lại mọi bằng chứng không đường chéo thành một đường chéo không?

Như những người khác đã chỉ ra, câu trả lời phụ thuộc vào ý nghĩa của bạn bằng cách chéo. Theo nghĩa chung hơn (bài báo của Kozen được liên kết bởi Lance), câu trả lời là có cho bất kỳ hai "lớp phức tạp" khác nhau (như được định nghĩa trong bài báo của Kozen). Bạn có thể biến đối số thành đối số "đường chéo". Nhưng:

điều này không áp dụng cho các lớp phức tạp không thỏa mãn các yêu cầu được nêu trong bài viết của Kozen (tức là không phải là "các lớp phức tạp" của Kozen).
nó là một loại đường chéo rất chung. Kozen cho thấy trong cùng một bài báo rằng không có "đường chéo" sẽ đáp ứng một số điều kiện dự kiến để tách các lớp như và . Có những kết quả của Lance Fornow và những người khác (ví dụ kết quả đánh đổi không gian thời gian) (bao gồm cả một số công việc của Ryan William) trong đó đường chéo được sử dụng theo cách gián tiếp. Điều này có thể được chuyển thành "đường chéo" trực tiếp nhưng nó sẽ không thỏa mãn các thuộc tính đẹp mà người ta có thể mong đợi (như tính độc lập của mẫu đối với một tập hợp trong lớp nhỏ hơn từ mã của các máy cho lớp đó và dường như đó là lý do họ không tương đối hóa). $P$ $PSpace$
điều quan trọng là một phương thức càng chung chung thì các ứng dụng của nó càng bị hạn chế (nếu nó được sử dụng bởi chính nó) bởi vì phương thức này cần phải hoạt động cho nhiều trường hợp hơn và đây là một hạn chế đối với phương thức, chúng tôi không thể sử dụng cụ thể thông tin chúng tôi có về vấn đề nếu nó không được chia sẻ hoặc không thể thay thế bằng một cái gì đó tương tự cho các vấn đề khác mà chúng tôi muốn áp dụng phương pháp cho chúng.
Chúng ta có thể biến các đối số phân tách thành đối số "đường chéo" (xem xét hạn chế mà tôi đã đề cập ở trên), nhưng thực tế là "hàm chéo thực sự tách biệt các lớp" cần một bằng chứng. Bài viết của Kozen cho thấy tồn tại một hàm chéo nếu các lớp khác nhau, nhưng làm thế nào chúng ta có thể biết rằng một hàm đã cho là thực sự chéo? Chúng tôi cần một bằng chứng! Và bài báo (AFAIU) không cung cấp cho chúng tôi bất kỳ ý tưởng nào về cách đưa ra những bằng chứng đó. Nếu chúng ta có một đối số phân tách, chúng ta có thể biến nó thành một bằng chứng đường chéo, nhưng đó chỉ là saucó một bằng chứng. Bằng chứng ban đầu sẽ phục vụ như là một phần của bằng chứng đường chéo mới, nó sẽ cho thấy hàm này thực sự là đường chéo. (Và theo một nghĩa nào đó, bằng chứng đường chéo được xây dựng từ giấy của Kozen sẽ không "chính tắc" vì nó sẽ hoàn toàn phụ thuộc vào đối số ban đầu.)

— Kaveh
nguồn

Tôi nên cẩn thận hơn về câu hỏi thứ hai của bạn (Chúng ta có thể tìm thấy một cơ chế tự tham khảo đằng sau chúng không?) Và không đồng nhất. Tôi nghĩ bạn cần phải cụ thể hơn về ý của bạn bằng "cơ chế tự tham chiếu". Từ "tự tham khảo" là một trong những từ bị sử dụng sai rất nhiều (đặc biệt là trong các tác phẩm triết học), vì vậy chúng ta nên cẩn thận. Cơ chế tự tham chiếu thông thường (theo nghĩa của Godel, cũng xem cuốn sách "Đường chéo và tự tham chiếu" của R. Smullyan, 1994) cần liệt kê các đối tượng (ở đây là TM) của lớp nhỏ hơn trong ngôn ngữ. Nhưng có những thứ khác cũng sử dụng

— Kaveh

sử dụng từ "tự tham khảo". EgK Mulmuley sử dụng nó trong bối cảnh không đồng nhất của GCT trong cái mà anh ta gọi là "nghịch lý tự tham chiếu". Nhưng thật khó để nhìn thấy tôi nếu đó là những gì bạn có trong đầu khi bạn đang sử dụng "cơ chế tự tham chiếu".

— Kaveh