Các thuật toán đa thức thời gian với số mũ / hằng số lớn

Bạn có biết các thuật toán hợp lý chạy trong thời gian đa thức trong (Độ dài đầu vào + Độ dài đầu ra), nhưng thời gian chạy không có triệu chứng trong cùng một số đo có số mũ / hằng số rất lớn (ít nhất là trong đó giới hạn trên đã được chứng minh về thời gian chạy cách như vậy)?

Các thuật toán dựa trên bổ đề đều đặn là những ví dụ điển hình cho các thuật toán đa thức thời gian với các hằng số khủng khiếp (theo hệ số mũ hoặc là hệ số hàng đầu).

Bổ đề chính quy của Szemeredi cho bạn biết rằng trong bất kỳ đồ thị nào trên đỉnh bạn có thể phân chia các đỉnh thành các tập hợp trong đó các cạnh giữa các cặp là "giả ngẫu nhiên" (nghĩa là mật độ của các tập con đủ lớn trông giống như mật độ trong một đồ thị ngẫu nhiên) . Đây là một cấu trúc rất tốt để làm việc và do đó, có các thuật toán sử dụng phân vùng. Điều đáng chú ý là số lượng tập hợp trong phân vùng là một tháp theo cấp số nhân trong tham số giả ngẫu nhiên (Xem tại đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_THERity_lemma ).$n$

Đối với một số liên kết đến các thuật toán dựa trên bổ đề thường xuyên, hãy xem, ví dụ: http://www.cs.cmu.edu/~ryanw/THERity-journ.pdf

Tin tức từ SODA 2013 : Vấn đề Max-Bisection gần đúng với một yếu tố 0.8776 trong khoảng thời gian .$O(n^{10^{100}})$

Dưới đây là hai ảnh chụp màn hình từ Phương pháp tiếp cận dựa trên năng lượng để liên kết với Jason H. Cantarella, Erik D. Demaine, Hayley N. Iben, James F. O'Brien, SOCG 2004:

Đây là một kết quả gần đây từ Câu đố treo tranh trên giấy FUN 2012 của Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Yair N. Minsky, Joseph SB Mitchell, Ronald L. Rivest và Mihai Patrascu.

Chúng tôi chỉ ra cách treo một bức tranh bằng cách quấn dây thừng quanh n móng tay, tạo ra một số xoắn đa thức, sao cho bức tranh rơi bất cứ khi nào k ra khỏi móng n và hình ảnh vẫn bị treo khi ít hơn k móng bị loại bỏ.

Đừng để 'số đa thức' đánh lừa bạn ... hóa ra là .$O(n^{43737})$

Có tồn tại một lớp học của các vấn đề, có các giải pháp rất khó để tính toán, nhưng xấp xỉ chúng vào bất kỳ chính xác là dễ dàng , theo nghĩa là có những thuật toán thời gian đa thức có thể xấp xỉ giải pháp cho trong cho bất kỳ ε liên tục> 0. Tuy nhiên, có một nhược điểm: thời gian chạy của gần giống thể phụ thuộc vào 1 / ε khá nặng, ví dụ, hãy O ( n 1 / ε ) .$(1+\epsilon)$$1/\epsilon$$O(n^{1/\epsilon})$

Xem thêm thông tin ở đây: http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial-time_approimumation_scheme .

Mặc dù thời gian chạy cho các thuật toán như vậy sau đó đã được cải thiện, thuật toán ban đầu để lấy mẫu một điểm từ cơ thể lồi có thời gian chạy .$\tilde{O}(n^{19})$

Dyer, Frieze và Kannan: http://portal.acm.org/cites.cfm?id=102783

Nếu là một mô đun logic hoặc logic siêu hình, thì hệ thống chứng minh Frege và thay thế Frege mở rộng cho L là tương đương về mặt đa thức và có thể hiểu được một cách trung thực trong EF cổ điển (đây là Định lý 5.10 trong bài viết này của tôi). Số mũ c của các mô phỏng đa thức không được nêu rõ ràng trong Định lý 5.10, nhưng bằng chứng quy nạp của định lý cho c = 2 O ( | F | ) , trong đó F là khung Kripke hữu hạn tạo ra L , vì vậy nó có thể rất lớn như bạn muốn tùy thuộc vào logic. (Nó trở nên tồi tệ hơn trong Định lý 5.20.)$L$$L$$c$$c=2^{O(|F|)}$$F$$L$

Thuật toán nổi tiếng nhất hiện nay để nhận dạng đồ thị bản đồ (tổng quát hóa đồ thị phẳng) chạy trong . Thorup, Đồ thị bản đồ trong thời gian đa thức.$n^{120}$

Việc tính toán trạng thái cân bằng của thị trường Mũi tên-Debreu cần các tính toán dòng chảy tối đa , trong đó U là tiện ích tối đa. Duan, Mehlhorn, Một thuật toán đa thức kết hợp cho thị trường mũi tên tuyến tính-Debreu.$O(n^6\log(nU))$$U$

Vấn đề thoáng qua Sandpile

Hãy xem xét quá trình sau đây. Lấy một viên gạch dày và thả các hạt cát lên từng hạt một. Một đống dần dần tích tụ và sau đó một phần lớn cát trượt ra từ các cạnh của gạch. Nếu chúng ta tiếp tục thêm các hạt cát, sau một thời điểm nhất định, cấu hình của heap lặp lại. Sau đó, cấu hình trở nên thường xuyên, tức là nó tiếp tục xem lại trạng thái được nhìn thấy trước đó.

$n \times n$

$n$

Trong SODA '07 , László Babai và Igor Gorodezky đã chứng minh lần này bị giới hạn về đa thức nhưng ..

$O(n^7)$

Câu trả lời này sẽ có vẻ tốt hơn một chút nếu không cải thiện :)

$O(n^7)$

$O(n^6)$

Có một số thuật toán phi cấu trúc, đáng chú ý nhất là định lý của Fellows và Langston và Courcelle .

Ngoài ra, thuật toán thời gian tuyến tính của Bodlaender cho chiều rộng của cây và định lý của Courcelle nổi tiếng là không thực tế.

$G$$O(n^3)$$H$$n$$G$$G$

http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_minor_theorem#Polynomial_time_recognition

$O(n^{11})$

Trong hình chữ nhật Đa giác, phần 2: Số lượng hình chữ nhật tối thiểu , một sửa đổi thực tế cho vấn đề phân vùng hình chữ nhật được thúc đẩy bởi các mối quan tâm trong VLSI được trình bày:

$P$$\delta$$P$$\delta$

$O(n^{42})$

$O(2^n)$$n$$n \choose 1$$n \choose 2$$n \choose 3$$O(n^c)$$c$$n \choose c$$c$$\mathsf{P \neq NP}$

[1] Câu hỏi về độ cứng của ma trận điện toán

$c$$O(n^c)$$n \choose c$$\mathsf{P \neq NP}$