Phân cấp cho BPP vs derandomization

Trong một câu: sự tồn tại của một hệ thống phân cấp cho có ngụ ý bất kỳ kết quả derandomization nào không?$\mathsf{BPTIME}$

Một câu hỏi liên quan nhưng vaguer là: sự tồn tại của một hệ thống phân cấp cho có ngụ ý bất kỳ giới hạn dưới khó khăn nào không? Liệu độ phân giải của vấn đề này có chống lại một rào cản đã biết trong lý thuyết phức tạp không?$\mathsf{BPTIME}$

Động lực của tôi cho câu hỏi này là phải hiểu những khó khăn tương đối (liên quan đến vấn đề mở lớn khác trong lý thuyết độ phức tạp) hiển thị một hệ thống phân cấp cho . Tôi giả định rằng mọi người tin rằng một hệ thống phân cấp như vậy tồn tại, nhưng xin vui lòng sửa cho tôi nếu bạn nghĩ khác.$\mathsf{BPTIME}$

Một số nền tảng : chứa những ngôn ngữ mà tư cách thành viên của bạn có thể được quyết định bởi một máy quay có xác suất trong thời gian f ( n ) với xác suất lỗi bị ràng buộc. Chính xác hơn, một ngôn ngữ L ∈ B P T I M E ( f ( n ) ) nếu tồn tại máy Turing xác suất T sao cho với mọi x ∈ L máy $\mathsf{BPTIME}(f(n))$$f(n)$$L \in \mathsf{BPTIME}(f(n))$$T$$x \in L$$T$chạy trong thời gian và chấp nhận với xác suất ít nhất 2 / 3 , và cho bất kỳ x ∉ L , T chạy trong thời gian O ( f ( | x | ) ) và từ chối với xác suất ít nhất 2 / 3 .$O(f(|x|))$$2/3$$x \not \in L$$T$$O(f(|x|))$$2/3$

Vô điều kiện, đó là mở dù cho tất cả c > 1 . Barak cho thấy tồn tại một hệ thống phân cấp chặt chẽ cho B P T I M E cho các máy có O ( log n $\mathsf{BPTIME}(n^c) \subseteq \mathsf{BPTIME}(n)$$c > 1$$\mathsf{BPTIME}$$O(\log n)$lời khuyên. Fortnow và Santhanam đã cải thiện điều này thành 1 chút lời khuyên. Điều này khiến tôi nghĩ rằng việc chứng minh sự tồn tại của hệ thống phân cấp thời gian xác suất không còn xa nữa. Mặt khác, kết quả vẫn mở và tôi không thể tìm thấy bất kỳ tiến triển nào sau năm 2004. Các tài liệu tham khảo, như thường lệ, có thể được tìm thấy trong Sở thú .

Các mối quan hệ với derandomization đến từ Impagliazzo và Wigderson của kết quả: họ cho thấy dưới một giả định phức tạp chính đáng, đối với bất kỳ liên tục d và một số hằng số c . Theo các định lý phân cấp thời gian cổ điển cho thời gian xác định, điều này hàm ý một hệ thống phân cấp thời gian cho thời gian xác suất. Tôi đang đặt câu hỏi ngược lại: liệu một nghiên cứu có xác suất có thể xảy ra trước một rào cản liên quan đến việc chứng minh kết quả derandomization không?$\mathsf{BPTIME}(n^d) \subseteq \mathsf{DTIME}(n^c)$$d$$c$

Nếu bất cứ ai có quan sát về những gì đứng giữa chúng tôi và chứng minh sự tồn tại của một hệ thống phân cấp cho thời gian xác suất, hãy trả lời / nhận xét. Tất nhiên, câu trả lời rõ ràng là có một định nghĩa ngữ nghĩa bất chấp các kỹ thuật cổ điển. Tôi quan tâm đến những quan sát ít rõ ràng hơn.$\mathsf{BPTIME}$

Đặt PTH là giả thuyết rằng tồn tại một hệ thống phân cấp thời gian xác suất. Giả sử câu trả lời cho câu hỏi của bạn là đúng, tức là, "PTH ngụ ý " đối với một số cố định c . Sau đó, E X P ≠ B P P sẽ là vô điều kiện đúng. Hãy xem xét hai trường hợp:$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$c$$EXP \neq BPP$

• Nếu PTH là sai, sau đó . Đây là điểm mấu chốt của những gì Lance lưu ý.$EXP \neq BPP$
• Nếu PTH là đúng, sau đó "PTH ngụ ý " để một lần nữa E X P ≠ B P P .$BPP \subseteq TIME[2^{n^{c}}]$$EXP \neq BPP$

Trong thực tế, thậm chí là một vô-thường derandomization của BPP dưới PTH sẽ đòi hỏi vô điều kiện. Vì vậy, bất cứ điều gì trở ngại áp dụng đối với chứng minh E X P ≠ B P P , họ áp dụng để chứng minh tuyên bố của các loại "PTH ngụ ý derandomization".$EXP \neq BPP$$EXP \neq BPP$

Không khó để có được một hệ thống phân cấp thời gian xác suất nếu BPP = EXP, trường hợp cực đoan không có sự phân biệt chủng tộc.