Bài đăng trên blog của Scott Aaronson hôm nay đã đưa ra một danh sách các vấn đề / nhiệm vụ mở thú vị phức tạp. Một điều đặc biệt thu hút sự chú ý của tôi:

Xây dựng một thư viện công cộng gồm các trường hợp 3SAT, với càng ít biến và mệnh đề càng tốt, điều đó sẽ có những hậu quả đáng chú ý nếu được giải quyết. (Ví dụ: các trường hợp mã hóa các thách thức bao thanh toán RSA.) Điều tra hiệu suất của các trình giải SAT tốt nhất hiện tại trên thư viện này.

Điều này đã kích hoạt câu hỏi của tôi: Kỹ thuật tiêu chuẩn để giảm các vấn đề RSA / bao thanh toán thành SAT là gì và nó nhanh đến mức nào? Có giảm như vậy tiêu chuẩn?

Nói rõ hơn, "nhanh" tôi không có nghĩa là thời gian đa thức. Tôi đang tự hỏi liệu chúng ta có giới hạn trên chặt chẽ hơn về sự phức tạp của việc giảm. Ví dụ, có giảm khối được biết đến?

Một cách tiếp cận để mã hóa Nhân tố (RSA) cho SAT là sử dụng các mạch nhân (Mọi mạch có thể được mã hóa dưới dạng CNF).

Giả sử chúng ta được cấp một số nguyên với bit, . Chúng tôi đang quan tâm đến việc tìm kiếm hai -bit số nguyên và có sản phẩm là .2 n C = ( c 1 , c 2 , ⋯ , c 2 n ) 2 n Một = ( một 1 , ⋯ , một n ) Một = ( b 1 , ⋯ , b n ) C = A * $C$$2n$$C=(c_1,c_2,\cdots,c_{2n})_2$$n$$A=(a_1,\cdots,a_n)$$A=(b_1,\cdots,b_n)$$C=A*B$

Mã hóa ngây thơ nhất có thể là một cái gì đó như thế này: Chúng tôi biết rằng

c 2 n - 1 = ( a n ∧ b n - 1 ) x o r ( a n - 1 ∧ b n ) C a r r y : d 2 n - 1 = ( a n ∧ b n - 1 ) ∧ ( a

Sau đó, sử dụng chuyển đổi Tseitin, mã hóa trên có thể được dịch sang CNF.

Cách tiếp cận này tạo ra một CNF tương đối nhỏ. Nhưng mã hóa này không hỗ trợ "Tuyên truyền đơn vị" và do đó, hiệu suất của SAT Solvers thực sự rất tệ.

Có các mạch khác để nhân có thể được sử dụng cho mục đích này, nhưng chúng tạo ra một CNF lớn hơn.

Mở rộng những gì @Amir viết: Tôi đã xem qua trang web đẹp sau đó tổ chức một máy phát điện CNF cho mạch bao thanh toán mà người ta có thể ví dụ như chạy trên một số (nay không hoạt động) RSA Factoring Challenge số . Các trường hợp phát sinh trong DIMACS định dạng đó trực tiếp có thể được làm thức ăn cho bất kỳ một trong những đối thủ cạnh tranh hiện tại trong năm SAT giải cuộc thi . Về các trường hợp SAT khó nói chung, các vấn đề điểm chuẩn được đưa ra tại trang web thi SAT dường như khá hữu ích, cũng như việc phân loại thành ngẫu nhiên / thủ công / công nghiệp là tốt.

Đây là một bài viết về việc tạo các trường hợp SAT từ bao thanh toán:

Horie, S. & Watanabe, O. [1997] "Tạo thế hệ cứng cho SAT " Thuật toán và tính toán 1350: 22-31 ( pdf )

$n^2$

ToughSat của Henry Yuen và Joseph Bebel là một công cụ khác tương tự như công cụ được liên kết bởi @Martin, tạo ra các công thức CNF mã hóa các trường hợp bao thanh toán và các vấn đề khó khăn khác.

Xem satfactor:

Chuyển đổi hệ số nguyên thành một vấn đề SATISFIABILITY boolean

Shane Neph

Tổng quan

Việc xác định các yếu tố của một số nguyên lớn đã được Man quan tâm kể từ ít nhất là thời gian của Euclid. Không có thuật toán chung nào được biết cho vấn đề này có tỷ lệ nhỏ hơn thời gian theo cấp số mũ đối với số bit cần thiết để biểu diễn số nguyên.

Mã này làm gì

Chuyển đổi một vấn đề nhân tử số nguyên thành một vấn đề SATISFIABILITY boolean. Nếu vấn đề được giải quyết bằng bộ giải SAT, thì nó sẽ trích xuất các thừa số nguyên.

Boolen giải quyết thỏa đáng cải thiện hàng năm. Cứ sau 2 năm, một cuộc cạnh tranh quốc tế giữa những người giải quyết diễn ra (xem http://www.satcompetition.org/ và http://www.satlive.org/ ). Những người giải quyết hiện đại này có thể làm tốt như thế nào trước một trong những vấn đề toán học mở lâu đời nhất trong sự tồn tại?

Dự án này có 2 mục đích chính:
1) Chuyển đổi vấn đề và tính một số nguyên quan tâm!
2) Nhanh chóng tạo ra một vấn đề SATISFIABILITY có thể giải quyết được hoặc không thể giải quyết được, mà khó khăn của nó dễ dàng được kiểm soát bởi người đi đường.
- Để tạo một vấn đề SATISFIABILITY không thể giải quyết, chỉ cần mã hóa một số nguyên tố.
- Để tạo ra các vấn đề khó hơn nhưng có thể giải quyết được, hãy chọn các số tổng hợp lớn hơn với ít yếu tố hơn.

Số lượng quan tâm có thể là bất kỳ kích thước!

Có một số người giải quyết SATISFIABILITY mã nguồn mở. Xem http://www.satlive.org/ để biết một số trong số này.

Xây dựng

tạo -C src /

Làm thế nào để

Nhập một số quan tâm ở dạng nhị phân của nó:

bin / iencode 10101> composite.21
// giải quyết với bộ giải yêu thích của bạn và đặt kết quả vào Solution.txt
bin / extract-sat composite.21 Solution.txt

Kết quả sẽ là:
00.011
00.111

đó là các biểu diễn nhị phân cho số nguyên thập phân 3 và 7, các yếu tố của 21.

Nếu một số nguyên đầu vào có nhiều hơn 2 yếu tố và vấn đề SAT được giải quyết, đầu ra sẽ chỉ là hai trong số các yếu tố. Đây có thể không phải là số nguyên tố (bạn có thể kiểm tra dễ dàng trong Maxima, Maple hoặc Mathicala).

Không phải tất cả các bộ giải SAT đều cho kết quả giống nhau. Bạn có thể cần bác sĩ những kết quả đó một chút. extract-sat yêu cầu một tệp giải pháp chứa danh sách các số nguyên (trên bất kỳ số dòng nào). Ví dụ,

1 -2 3 4 -5 ...