Đặt G là một cây trên các đỉnh 2n. Treewidth của G, tw (G) = 1. Bây giờ giả sử chúng ta thêm n cạnh vào G để có được đồ thị H. Một giới hạn trên dễ dàng trên tw (H) là n + 1. Đây có phải là điều tốt nhất có thể không?
Có vẻ như bằng cách nào đó tw (H) nên là O (sqrt (n)), nhưng đây chỉ là một linh cảm mơ hồ. Chúng ta có biết giới hạn trên tốt hơn O (n) cho treewidth của đồ thị thu được bằng cách thêm n cạnh vào cây trên các đỉnh 2n không?
Câu trả lời:
Mô hình của bạn không thực sự ít tổng quát hơn so với việc hỏi về các biểu đồ 3 thông thường tùy ý và các biểu đồ mở rộng 3 thông thường có treewidth tuyến tính. Vì vậy, tôi không biết về các yếu tố không đổi, nhưng (n) là tốt nhất có thể, vâng.
Như David đã chỉ ra, về cơ bản, bạn yêu cầu các giới hạn trên treewidth của đồ thị được kết nối với mức trung bình 3. Đối với trường hợp đặc biệt hơn của đồ thị 3 thông thường, có thể thu được các giới hạn dưới và trên. Biểu thị bằng pw (G) độ rộng đường dẫn của đồ thị G, rõ ràng là
(1) tw (G) <= pw (G) cho bất kỳ đồ thị G nào (vì phân tách đường dẫn là phân tách cây)
Nó được chứng minh trong [1] rằng
(2) Với mỗi \ epsilon> 0, tồn tại một số nguyên n_0 sao cho với bất kỳ đồ thị 3 thông thường G nào trên n> = n_0 đỉnh, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n.
Điều này cung cấp cho bạn một giới hạn trên của khoảng n / 6 trên treewidth của đồ thị 3 thông thường.
Đối với giới hạn dưới gần như chắc chắn, tôi trích dẫn từ [2]:
"Vì đồ thị hình khối ngẫu nhiên gần như chắc chắn có chiều rộng chia đôi ít nhất là 0,01 n (Kostochka, Melnikov, 1992), chúng gần như chắc chắn không có dải phân cách có kích thước nhỏ hơn n / 20" và do đó gần như chắc chắn không có sự phân rã cây nào có chiều rộng nhỏ hơn n / 20 .
Đối với "chắc chắn" giới hạn dưới của chiều rộng chia đôi, [3] cho thấy một họ vô hạn gồm 3 đồ thị thông thường, sao cho mỗi đồ thị G = (V, E) trong họ này có chiều rộng chia đôi ít nhất 0,082 * | V |.
[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: Băng thông của đồ thị khối và thuật toán chính xác. Thông tin Quá trình. Lett. 97 (5): 191-196 (2006)
[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: Tốt nghiệp và các lớp học với sự mở rộng giới hạn II. Các khía cạnh thuật toán. Á Âu J. Lược. 29 (3): 777-791 (2008)
[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: Giới hạn phổ thấp mới trên chiều rộng chia đôi của đồ thị. Lý thuyết. Tính toán. Khoa học. 320 (2-3): 155-174 (2004)