Những thuật toán được biết đến để tính toán nội suy Craig?

Có bất kỳ khảo sát về các thuật toán cho nội suy điện toán? Điều gì về các bài viết trên chỉ một thuật toán? Trường hợp tôi đang ở quan tâm nhất là và , cộng với ràng buộc là các interpolant là càng nhỏ càng tốt. (Tôi biết về bài báo của McMillan từ năm 2005 , trong đó mô tả cách lấy nội suy, trong khi tránh các bộ lượng hóa.)$A=\lnot p\land q$$C=q$

Bối cảnh: Định lý nội suy của Craig (1957) nói rằng nếu$\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$ , trong đó là công thức ( fol ) trong T A và C là công thức của T C , thì có công thức B mà ⊢ T Một Một → B và ⊢ T C B → C . Công thức B là một nội suy Craig của A và C (hoặc, theo định nghĩa thay thế, của A và$A$$T_A$$C$$T_C$$B$$\vdash_{T_A}A\to B$$\vdash_{T_C}B\to C$$B$$A$$C$$A$ ). Một nội suy tầm thường của ¬ p ∧ q và q là q ,nhưngtôi muốn mộtnội suynhỏ, cho một số định nghĩa hợp lý của 'nhỏ' (chẳng hạn như kích thước cú pháp). (Nội suy có nhiều cách sử dụng và, trong trường hợp bạn tò mò, đây làmột.)$\lnot C$$\lnot p\land q$$q$$q$

Động lực: Điều này sẽ hữu ích trong (rất) xác minh chương trình gia tăng thông qua việc tạo điều kiện xác minh.

Hãy xem luận án Phd của Himanshu Jain , Xác minh bằng cách sử dụng Kiểm tra mức độ hài lòng, Trừu tượng dự đoán và Nội suy Craig . Ông xem xét hiệu suất của một số kỹ thuật cơ bản để mắt đến các ứng dụng trong xác minh và có một chương về nội suy các công thức liên quan đến phương trình tuyến tính và Diophantine.

Anh ta có một cái nhìn cụ thể về cái mà tôi biết là phương thức kết nối của Bibel, và anh ta gọi đó là Matings chung. Đây là các cách tiếp cận dựa trên biểu đồ, thay vì dựa trên công thức suy luận để thỏa mãn. Nếu bạn quan tâm đến chúng nói chung, hãy để tôi giới thiệu Bằng chứng ngắn gọn (11 trang) của Dominic Hughes mà không cần cú pháp .

Điều thú vị là có một mối liên hệ giữa cắt bỏ và định lý nội suy. Trước hết, định lý nội suy trông giống như sự đảo ngược của việc loại bỏ quy tắc hỗn hợp được sử dụng trong quá trình loại bỏ cắt. Sự loại bỏ này nói:

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

Bây giờ một dạng của định lý nội suy dựa trên các bằng chứng không cắt, có thể được thực hiện như sau. Đây là phiên bản lộn ngược của việc loại bỏ. Nó bắt đầu bằng G, D | - B và cho G | - A và D, A | - B:

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

Tôi đặt mục đích là một dấu chấm phẩy giữa các tiền đề G và D. Đây là nơi chúng ta vẽ đường thẳng, đó là tiền đề mà chúng ta muốn xem là cung cấp nội suy và các tiền đề mà chúng ta muốn thấy bằng cách sử dụng phép nội suy.

Khi đầu vào là một bằng chứng cắt miễn phí, nỗ lực của đại số tỷ lệ thuận với số lượng nút của bằng chứng cắt miễn phí. Vì vậy, nó thực tế một phương pháp tuyến tính trong đầu vào. Với mỗi bước chứng minh của chứng minh miễn phí cắt, thuật toán sẽ lắp ráp nội suy bằng cách đưa ra một liên kết mới.

Quan sát trên cho thấy việc xây dựng nội suy đơn giản, trong đó chúng ta chỉ yêu cầu nội suy có các mệnh đề đồng thời từ G và D. Các nội suy với một điều kiện thay đổi đòi hỏi một vài bước nữa, vì một số nhu cầu cản trở biến cũng phải được thực hiện.

Có lẽ có một mối liên hệ giữa mức tối thiểu của bằng chứng cắt miễn phí và kích thước của nội suy. Không phải tất cả các bằng chứng cắt miễn phí là tối thiểu. Ví dụ, bằng chứng thống nhất thường ngắn hơn bằng chứng không cắt. Bổ đề cho bằng chứng thống nhất khá đơn giản, một ứng dụng quy tắc có dạng:

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

Có thể tránh được, khi B không được sử dụng trong chứng minh C. Khi B không được sử dụng trong chứng minh C, chúng ta đã có G | - C, và do đó làm suy yếu G, A -> B | - C. Nội suy thuật toán được đề cập ở đây, sẽ không chú ý về điều này.

Trân trọng

Tài liệu tham khảo: Định lý nội suy của Craig được chính thức hóa và cơ giới hóa trong Isabelle / HOL, Tom Ridge, Đại học Cambridge, ngày 12 tháng 7 năm 2006 http://arxiv.org/abs/cs/0607058v1

Sự tinh chỉnh ở trên không thể hiện chính xác cùng một phép nội suy, vì nó sử dụng nhiều bộ trong phần kết luận của một chuỗi. Ngoài ra, nó không sử dụng hàm ý. Nhưng thật thú vị vì nó hỗ trợ cho yêu cầu phức tạp của tôi và vì nó cho thấy một xác minh cơ giới hóa.

Đã hơn hai năm kể từ khi câu hỏi này được hỏi, nhưng trong thời gian đó, đã có nhiều bài báo được xuất bản về các thuật toán để tính toán nội suy Craig. Đây là một lĩnh vực nghiên cứu rất tích cực và không thể đưa ra một danh sách toàn diện ở đây. Tôi đã chọn bài viết khá tùy tiện dưới đây. Tôi sẽ đề nghị các bài viết sau tham khảo chúng và đọc các phần công việc liên quan của chúng để có được một bức tranh rõ ràng về phong cảnh.

1. Thế hệ nội suy hiệu quả trong lý thuyết Modulo thỏa mãn , Alessandro Cimatti, Alberto Griggio, Roberto Sebastiani, ACM TOCL, 2010.

   Bao gồm phép nội suy cho số học hợp lý tuyến tính, logic chênh lệch số nguyên và số nguyên và logic Hai biến số trên mỗi bất đẳng thức (UTVPI).

2. Thế hệ nội suy hiệu quả trong số học Modulo số nguyên tuyến tính thỏa mãn , Alberto Griggio, Thi Thiều Hoa Lê, và Roberto Sebastiani. 2010.

3. Một phương pháp kết hợp để tạo ra các phép nội suy , Greta Yorsh và Madanlal Musuvathi. 2005.

   Chỉ ra cách tạo ra các phép nội suy với sự có mặt của sự kết hợp lý thuyết Nelson-Oppen.

4. Nội suy mặt đất cho lý thuyết bình đẳng , Alexander Fuchs, Amit Goel, Jim Grundy, Sava Krstic, Cesare Tinelli. 2011.

5. Hoàn thành nội suy dựa trên tức thời , Nishant Totla và Thomas Wies. 2012.

6. Nội suy như Phân loại , Rahul Sharma, Aditya V. Nori và Alex Aiken, 2012.