Tại sao 2SAT trong P?

Tôi đã đi qua thuật toán đa thức giải quyết 2SAT. Tôi đã nhận thấy rằng 2SAT nằm trong P trong đó tất cả (hoặc nhiều người khác) trong các trường hợp SAT là NP-Complete. Điều gì làm cho vấn đề này khác nhau? Điều gì làm cho nó dễ dàng như vậy (NL-Complete - thậm chí dễ dàng hơn P)?

Dưới đây là một lời giải thích trực quan và không khoa trương hơn dọc theo dòng câu trả lời của MGwynne.

Với -SAT, bạn chỉ có thể diễn đạt ý nghĩa của mẫu , trong đó và là chữ. Chính xác hơn, cứ sau lần, có thể được hiểu là một cặp hàm ý: và . Nếu bạn đặt thành true, cũng phải đúng. Nếu bạn đặt thành false, cũng phải sai. Hàm ý như vậy rất đơn giản: không có lựa chọn nào khác, bạn chỉ cómột ⇒ b một b 2 l 1 ∨ l 2 ¬ l 1 ⇒ l 2 ¬ l 2 ⇒ l 1 một b b một 1 ¬ l l l ¬ l $2$$a \Rightarrow b$$a$$b$$2$$l_1 \lor l_2$$\lnot l_1 \Rightarrow l_2$$\lnot l_2 \Rightarrow l_1$$a$$b$$b$$a$$1$khả năng, không có chỗ cho phép nhân trường hợp. Bạn chỉ có thể theo dõi mọi chuỗi hàm ý có thể và xem liệu bạn đã từng lấy được cả từ và từ : nếu bạn làm với một số , thì công thức 2-SAT là không thỏa đáng, nếu không thì nó là thỏa đáng. Đó là trường hợp số chuỗi hàm ý có thể bị ràng buộc đa thức trong kích thước của công thức đầu vào.$\lnot l$$l$$l$$\lnot l$$l$

Với -SAT, bạn có thể diễn đạt ý nghĩa của dạng a ⇒ b ∨ c , trong đó a , b và c là nghĩa đen. Bây giờ bạn đang gặp rắc rối: nếu bạn đặt a thành true, thì b hoặc c phải đúng, nhưng cái nào? Bạn phải đưa ra lựa chọn: bạn có 2 khả năng. Đây là nơi nhân trường hợp trở nên có thể, và nơi phát sinh vụ nổ tổ hợp.$3$$a \Rightarrow b \lor c$$a$$b$$c$$a$$b$$c$

Nói cách khác, -SAT có thể thể hiện sự hiện diện của nhiều hơn một khả năng, trong khi 2 -SAT không có khả năng như vậy. Chính xác là có nhiều hơn một khả năng ( 2 khả năng trong trường hợp 3 -SAT, k - 1 khả năng trong trường hợp k -SAT) gây ra vụ nổ tổ hợp điển hình của các vấn đề NP-đầy đủ.$3$$2$$2$$3$$k-1$$k$

Xem xét độ phân giải trên công thức 2-SAT. Bất kỳ chỉ những thuốc làm tiêu độc là kích thước tối đa là 2 (lưu ý rằng nếu n , m ≤ 2 cho khoản có độ dài n và m resp). Số mệnh đề của kích thước 2 là bậc hai trong số lượng biến. Do đó, thuật toán độ phân giải nằm trong P.$n + m -2 \le 2$$n, m \le 2$$n$$m$

Khi bạn đạt 3-SAT, bạn có thể nhận được độ phân giải lớn hơn và lớn hơn, vì vậy tất cả sẽ có dạng hình quả lê :).

Hãy thử dịch một vấn đề sang 2-SAT. Vì bạn không thể có các mệnh đề có kích thước 3, nên bạn không thể (nói chung) mã hóa hàm ý liên quan đến 3 biến trở lên, ví dụ, một biến là kết quả của phép toán nhị phân trên hai biến khác. Đây là một hạn chế rất lớn.

Như Walter nói, các mệnh đề của 2-SAT có một hình thức đặc biệt. Điều này có thể được khai thác để tìm giải pháp nhanh chóng.

Thực tế, có một số loại trường hợp SAT có thể được quyết định trong thời gian đa thức và 2-SAT chỉ là một trong những lớp có thể kéo được . Có ba loại lý do cho khả năng di chuyển:

1. (Khả năng chuyển đổi cấu trúc) Bất kỳ lớp SAT nào trong đó các biến tương tác theo kiểu giống như cây có thể được giải quyết trong thời gian đa thức. Mức độ của đa thức phụ thuộc vào độ rộng tối đa của các thể hiện trong lớp, trong đó độ rộng đo khoảng cách của một thể hiện từ một cây. Chính xác hơn, Marx đã chỉ ra rằng nếu các thể hiện có giới hạn chiều rộng mô đun, thì lớp có thể được quyết định trong thời gian đa thức bằng cách sử dụng phương pháp phân chia và chinh phục.

2. (Khả năng chuyển đổi ngôn ngữ) Bất kỳ lớp nào của các trường hợp SAT trong đó mô hình của các biến đúng-sai là "tốt đẹp", có thể được giải quyết trong thời gian đa thức. Chính xác hơn, mô hình của chữ nghĩa xác định một ngôn ngữ của các mối quan hệ và Schaefer đã phân loại sáu ngôn ngữ dẫn đến khả năng chuyển đổi, mỗi ngôn ngữ có thuật toán riêng. 2-SAT tạo thành một trong sáu lớp Schaefer.

3. (Khả năng chuyển đổi lai) Cũng có một số loại trường hợp không thuộc hai loại khác, nhưng có thể được giải quyết trong thời gian đa thức vì các lý do khác.

   • Dániel Marx, thuộc tính siêu dữ liệu có thể truy cập để thỏa mãn ràng buộc và truy vấn kết hợp , STOC 2010 ( doi , in trước )
   • Thomas J. Schaefer, Sự phức tạp của các vấn đề thỏa đáng , STOC 1978. ( doi )

Nếu bạn hiểu thuật toán cho 2SAT, bạn đã biết tại sao nó lại ở P - đây chính xác là những gì thuật toán thể hiện. Tôi nghĩ rằng truyện tranh này minh họa quan điểm của tôi. Như bạn đã biết tại sao 2SAT lại ở P, điều bạn có thể muốn biết là tại sao 2SAT không phải là NP-hard.

Để hiểu tại sao 2SAT không phải là NP-hard, bạn phải xem xét việc giảm các vấn đề khác trong NP dễ dàng như thế nào. Để có được sự hiểu biết trực quan về điều này, hãy xem cách SAT có thể giảm xuống 3SAT và cố gắng áp dụng các kỹ thuật tương tự để giảm SAT xuống 2SAT. 2SAT không biểu cảm như 3SAT và các biến thể SAT khác.