Biểu thức đệ quy mu cho hàm Ackerman

Bạn có thể vui lòng chỉ ra cách xây dựng chức năng Ackerman (thực ra tôi quan tâm đến phiên bản do Rózsa Péter và Raphael Robinson đề xuất) thông qua các toán tử đệ quy mu tiêu chuẩn? Tôi đã thử các bài báo gốc của Péter và Robinson, nhưng bài viết của Péter sử dụng một ngôn ngữ khác với các bài báo tiếng Anh và Robinson, Recursion và Double Recursion, và Chức năng đệ quy nguyên thủy, cũng không giúp được gì: trước hết chúng có vẻ phù hợp hơn, nhưng nó được sử dụng rất nhiều được gọi là toán tử đệ quy kép để xác định hàm Ackerman, vì vậy trong trường hợp này, định nghĩa rõ ràng của toán tử theo thuật ngữ đệ quy mu được tìm kiếm.

Gần gũi nhất với câu trả lời là P. Smith trong phần Giới thiệu về định lý của Godel, C (CUP, 2007) (29.4 Hàm Ackermann-Peter là rec-recursive), nhưng anh ta đưa ra một điều sau: tẻ nhạt dù không khó. Không có gì để học từ việc đánh vần các chi tiết ở đây: vì vậy chúng tôi sẽ không.

Tôi cũng đã thử cuốn sách của Rózsa Péter, chức năng đệ quy Hồi giáo (1967, báo chí học thuật). Có rất nhiều biến thể cho các toán tử đệ quy được đưa ra ở đó. Thông thường người này giảm người khác. Tôi tin rằng có một loại toán tử đệ quy phù hợp với định nghĩa của hàm Ackerman và trình tự các bước làm giảm nó thành các toán tử chuyển hướng và giảm thiểu nguyên thủy, nhưng tôi thấy mình không thể điều tra toàn bộ.

Việc phá vỡ chức năng Ackermann cho đến các toán tử cơ bản sẽ thực sự khá dài, nhưng đây là một bản phác thảo:

Lưu ý rằng khi tính toán một cách đệ quy, tại bất kỳ điểm của việc tính toán bạn đang đối phó với một biểu thức có dạng A ( m 1 , Một ( m 2 , ... , A ( m k , z ) ... ) . Với một hàm ghép cặp tính từ p với nghịch đảo ( π 1 , π 2 ) , chúng ta có thể mã hóa trạng thái này dưới dạng p ( z , p ( $A(m,x)$$A(m_1,A(m_2,\dots,A(m_k,z)\dots)$$p$$(\pi_1,\pi_2)$ (chỉ p ( z , 0 ) trong trường hợp k = 0 ). Sau đó chúng ta có thể định nghĩa hàm đánh giá một bước, với một trạng thái:$p(z,p(k,p(m_k,\dots,p(m_2,m_1)\dots)$$p(z,0)$$k=0$

;$e(p(z,0)) = p(z,0)$

;$e(p(z,p(k,p(0,c)))) = p(z+1,p(k-1,c))$

;$e(p(0,p(k,p(m+1,c)))) = p(1,p(k,p(m,c)))$

.$e(p(z+1,p(k,p(m+1,c)))) = p(z,p(k+1,p(m+1,p(m,c))))$

Sau đó, bạn có được hàm đánh giá n bước bằng cách sử dụng đệ quy nguyên thủy:

và E ( n + 1 , m , x ) = e ( E ( n , m , x ) ) .$E(0,m,x) = p(x,p(1,m))$$E(n+1,m,x) = e(E(n,m,x))$

Cuối cùng, quấn -recursion xung quanh E để tìm các điểm mà chúng ta có được một trạng thái có dạng p ( z , 0 ) - z sẽ là Một ( m , x ) .$\mu$$E$$p(z,0)$$z$$A(m,x)$

Đây là một biến thể của ý tưởng được đăng bởi Kaveh, nhưng dù sao tôi cũng đăng bài vì nó cho phép bạn quét nhiều chi tiết khó chịu dưới tấm thảm mà không thực sự làm bất kỳ thao tác nào.

Thực tế quan trọng là đồ thị của hàm Ackermann là đệ quy nguyên thủy. Không khó để tìm thấy một nguyên thủy rất thô sơ trên mã của bảng giá trị Ackermann cần thiết để xác minh rằng A ( m , n ) = w . Đừng cố gắng để có được giới hạn sắc nét - người phá hủy càng dễ dàng! Một cái gì đó như B ( m , n , w ) = 2 m w $B(m,n,w)$$A(m,n) = w$$B(m,n,w) = 2^{mw^w}$nên đủ tốt, nhưng điều đó phụ thuộc vào sự lựa chọn của bạn về sơ đồ mã hóa. Vì việc xác minh các giá trị bảng có thể được mô tả bằng một công thức giới hạn, nên nó là đệ quy nguyên thủy.

Một khi bạn có một định nghĩa nguyên thủy đệ quy cho đồ thị của hàm Ackermann, chỉ cần xác định A ( m , n ) = μ $G(m,n,w)$ .$A(m,n) = \mu w\,G(m,n,w)$

Đáng buồn thay, chiến lược này không hoạt động cho tất cả các chức năng được xác định bằng đệ quy kép (hoặc nhiều). Lý do nó hoạt động cho chức năng Ackermann - như bạn sẽ thấy khi cố gắng tìm ra một - là nó phát triển rất đơn điệu. Đối với trường hợp chung, bạn phải sử dụng ý tưởng Kaveh và có μ nhìn cho phù hợp với bảng các giá trị. Đây là cơ bản cùng một lý do tại sao Normal Form lý của Kleene cần phải làm một dự báo sau khi áp dụng μ điều hành.$B(m,n,w)$$\mu$$\mu$