Vĩnh viễn một ma trận và từ các định thức

Đặt là ma trận hoặc với các mục . Ai đó có thể cung cấp cho tôi một ma trận để không? rõ ràng nhỏ nhất được biết là gì mà ? Bất kỳ tài liệu tham khảo về điều này với các ví dụ rõ ràng? $A$ $3 \times 3$ $4 \times 4$ $a_{ij}$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$ $B$ $\operatorname{per}(A) = \det(B)$

Một số hạn chế có thể là các trường hợp sau:

Trường hợp $(1)$ Chỉ tuyến tính functionals được phép như mục của $B$ .

Trường hợp $(2)$ Các hàm phi tuyến tính được cho phép với điều kiện mỗi thuật ngữ có tối đa $O(log(n))$ độ (độ là tổng của mức độ của các biến) trong đó $n$ là kích thước của ma trận liên quan. Trong trường hợp của chúng tôi, lên đến mức $2$ .

cc.complexity-theory algebraic-complexity permanent

— đấu với
nguồn

@vs Những hạn chế đối với

B

$B$ gì? Nếu không có thì

B = (\begin{matrix} per (A) \end{matrix})

$B = \begin{pmatrix} \operatorname{per}(A)\end{pmatrix}$ là ma trận

1 \times 1

$1 \times 1$ với

det (B) = per (A)

$\det(B) = \operatorname{per}(A)$ , nhưng Tôi đoán rằng đó không phải là những gì bạn có trong tâm trí. Điển hình là một phép các mục của

B

$B$ là hàm tuyến tính affine của các biến trong

A

$A$ .

— Tyson Williams

[BIÊN TẬP]

Để thống nhất, tôi đã chuyển các ký hiệu từ sang . $c(n)$ $dc(n)$
Nó được hỏi bởi vs trong các ý kiến cho dù câu trả lời của tôi khái quát lên kích thước cao hơn. Nó thực hiện và đưa ra giới hạn trên đối với bất kỳ trường nào: Xem dự thảo của tôi về điều này: Một giới hạn trên cho vấn đề thường trực và quyết định . $d c (n) \leq 2^{n} - 1.$ $dc(n)\le 2^n-1.$

[/BIÊN TẬP]

[Một nhận xét bên lề: Tôi nghĩ rằng bạn có thể chỉnh sửa câu hỏi trước đó của mình thay vì tạo một câu hỏi mới.]

Tôi có câu trả lời sau cho bạn:

per (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}) = det (\begin{matrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\operatorname{per}\begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}= \det\begin{pmatrix} 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & i & f & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & c & i \\ 0 & 0 & 0 & 1 & c & 0 & f \\ e & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ h & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Lưu ý rằng tìm kiếm các tài liệu tham khảo như vậy về các ví dụ rõ ràng, tôi không thể tìm thấy bất kỳ và do đó, ví dụ tôi đưa cho bạn là một ví dụ tôi đã xây dựng.

Câu hỏi mà bạn đang hỏi thường được gọi là "Vấn đề thường trực và quyết định". Giả sử chúng ta đang đưa ra một ma trận , và chúng tôi muốn các ma trận nhỏ nhất mà . Hãy để chúng tôi biểu thị bằng kích thước của nhỏ nhất như vậy . Đây là kết quả lịch sử: $(n\times n)$ $A$ $B$ $\operatorname{per} A=\det B$ $dc(n)$ $B$

[Szegö 1913] $dc(n)\ge n+1$
[von zur Gathen 1986] $dc(n)\ge n\sqrt 2-6\sqrt n$
[Cai 1990] $dc(n)\ge n\sqrt 2$
[Mignon & Ressayre 2004] trong đặc tính $dc(n)\ge n^2/2$ $0$
[Cai, Chen & Li 2008] trong đặc tính . $dc(n)\ge n^2/2$ $\neq 2$

Điều này cho thấy (giới hạn trên là ma trận đã cho ở trên). $5\le dc(3)\le 7$

Vì tôi lười biếng, tôi chỉ cung cấp cho bạn một tài liệu tham khảo nơi bạn có thể tìm thấy những người khác. Đây là bài báo gần đây nhất mà tôi đã trích dẫn, bởi Cai, Chen và Li: Một giới hạn bậc hai cho vấn đề vĩnh viễn và xác định đối với bất kỳ đặc điểm nào $\neq 2$ .

Nếu bạn đọc tiếng Pháp, bạn cũng có thể xem các slide của tôi về chủ đề này: Vĩnh viễn so với Déterminant .

— Bruno
nguồn

Cảm ơn rât nhiều. Tôi quên đề cập rằng tôi đã quen thuộc với giới hạn dưới tuyến tính và bậc hai. Ví dụ của bạn là mới đối với tôi và dĩ nhiên tôi sẽ xem các slide Pháp của bạn :)

— so với

Để chuyển đổi một công thức thành một định thức, đó là kết quả (cổ điển?) Của Valiant vào năm 1979. Chúng tôi giải thích kết quả này trong bài viết của chúng tôi trong Phần 2.1 (cf [ arxiv.org/abs/1007.3804] ).

— Bruno

Với , lưu ý rằng có một hằng số trong O (n2 ^ n) để 24 không phải là giá trị đúng. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng ví dụ của tôi tốt hơn là áp dụng công thức của Ryser's + công trình của Valiant. Điều này là khá bình thường vì người ta có thể tưởng tượng rằng đi từ vĩnh viễn đến một công thức và sau đó trở lại một yếu tố quyết định không phải là cách tốt nhất để làm. Tôi sẽ không nói ví dụ của tôi là "tốt hơn Ryser" vì các mục tiêu không giống nhau. Cũng lưu ý rằng các công thức của Glynn'sor Ryser không tốt bằng công thức tầm thường cho , họ chỉ đánh bại nó một cách không có triệu chứng.

n = 3

$n=3$

n = 3

$n=3$

— Bruno

Tôi đã có một cái nhìn mới về bài viết của JY Cai. Định lý 3 đưa ra một ràng buộc tốt hơn: .

c (n) \leq O (2^{n})

$c(n)\le O(2^n)$

— Bruno

@Bruno: câu trả lời tuyệt vời!

— Đại Lê