Chương trình GCT của Mulmuley

Đôi khi người ta cho rằng Lý thuyết phức tạp hình học của Ketan Mulmuley là chương trình hợp lý duy nhất để giải quyết các câu hỏi mở của lý thuyết phức tạp như câu hỏi P so với NP. Đã có một số bình luận tích cực từ các nhà lý thuyết phức tạp nổi tiếng về chương trình. Theo Mulmuley, sẽ mất nhiều thời gian để đạt được kết quả mong muốn. Đi vào khu vực này không dễ dàng đối với các nhà lý thuyết phức tạp nói chung và cần nỗ lực đáng kể để có thể xử lý hình học đại số và lý thuyết biểu diễn.

1. Tại sao GCT được coi là có khả năng giải quyết P so với NP? Giá trị của khiếu nại là gì nếu dự kiến ​​sẽ mất hơn 100 năm để đến đó? Những lợi thế của nó đối với các phương pháp tiếp cận hiện tại khác và những phương pháp có thể tăng lên trong 100 năm tới là gì?

2. Tình trạng hiện tại của chương trình là gì?

3. Mục tiêu tiếp theo của chương trình là gì?

4. Đã có bất kỳ lời chỉ trích cơ bản của chương trình?

Tôi muốn các câu trả lời dễ hiểu bởi một nhà lý thuyết phức tạp chung với nền tảng tối thiểu từ hình học đại số và lý thuyết biểu diễn giả định.

Như nhiều người khác đã chỉ ra, nhiều câu hỏi đã được Mulmuley, Regan và những người khác nói. Tôi sẽ cung cấp ở đây chỉ là một bản tóm tắt ngắn gọn về những gì tôi nghĩ là một số điểm chính chưa được đề cập trong các ý kiến.

1. $P \neq NP$

2. • Một số tiến bộ đang được thực hiện để hiểu các giống đại số, các biểu diễn và các câu hỏi thuật toán phát sinh trong GCT. Các nhà nghiên cứu chính mà tôi biết về những người đã thực hiện công việc này là (không theo thứ tự cụ thể nào): P. Burgisser, C. Ikenmeyer, M. Christandl, JM Landsberg, KV Subrahmanyan, J. Blasiak, L. Man Xoay, N. Ressayre, J. Weyman, V. Popov, N. Kayal, S. Kumar, và tất nhiên là K. Mulmuley và M. Sohoni.

   • $n^2 + 2$$\frac{3}{2}n^2 +O(n)$

   • N. Kayal có một vài bài viết về câu hỏi thuật toán kiểm tra khi một đa thức nằm trong quỹ đạo của người khác hoặc là hình chiếu của người khác. Ông cho thấy nói chung những vấn đề này là NP-hard nhưng đối với các hàm đặc biệt như đa thức đối xứng vĩnh viễn, xác định và cơ bản, các vấn đề này có thể quyết định được ở P. Đây là một bước tiến tới một số phỏng đoán của Mulmuley (đó là một số vấn đề khó hơn - quyết định quỹ đạo đóng - nằm trong P cho các chức năng đặc biệt như định thức).

3. Tôi không có nhiều điều cụ thể để nói về điều này hơn câu trả lời cho 2.

4. Theo như tôi biết thì chưa có chỉ trích cơ bản , theo nghĩa là tôi chưa thấy bất kỳ lời chỉ trích nào thực sự làm mất uy tín của chương trình theo bất kỳ cách nào. Chắc chắn đã có cuộc thảo luận về lý do tại sao các kỹ thuật như vậy là cần thiết, giá trị của chương trình được đưa ra trong thời gian dài dự kiến, v.v., nhưng tôi sẽ mô tả những điều này như thảo luận lành mạnh hơn là chỉ trích cơ bản.

Tôi nghĩ bài viết này của Ketan D. Mulmuley sẽ trả lời ít nhất câu hỏi số 1 (có thể là 2) Về P so với NP và Lý thuyết phức tạp hình học