Các thuộc tính không thể giải quyết được của P có gây cản trở cho việc quyết định P so với NP không? (câu trả lời: có thể)

Năm câu hỏi được liên kết được đặt ra và một câu trả lời tích hợp duy nhất được hy vọng cho:

• Q1: Đỗ có tồn tại ngôn ngữ được công nhận hoàn toàn bởi những máy Turing trong  P có số mũ runtime là undecidable ?$L$$P$
• Câu 2: Các ví dụ về các máy Turing này có thể được xây dựng chính xác không?
• Câu 3: Những máy Turing này có thể được khởi tạo cụ thể không? ( ví dụ: bằng các phép lạ "đoán" chúng hơn là xây dựng chúng một cách tinh vi).
• Câu 4: Những thuộc tính nào khác của P (ngoài số mũ thời gian chạy) hiện được biết là không thể giải quyết được? Đối với những thuộc tính của là câu hỏi này mở?$P$
• Q5: Đừng các thuộc tính undecidable của đặt ra một trở ngại cho các decidability của P ≠ N P ?$P$$P \ne NP$

Lưu ý cẩn thận từ "duy nhất" trong Q1 (không bao gồm câu trả lời được đề xuất của Lance Fortnow).

Kết luận và chuyển đổi sang Wiki cộng đồng

• Câu hỏi được đặt ra, "Các thuộc tính không thể giải quyết được của P có gây cản trở cho việc quyết định P so với NP không?", Là mở và được cho là khó, vì có rất nhiều câu hỏi cụ thể (như Q1 Vỏ4 ở trên) có liên quan tự nhiên với nó.

• Sách chuyên khảo khả thi năm 1978 của Juris Hartmanis Tính toán khả thi và các thuộc tính phức tạp có thể cung cấp cung cấp một tài liệu tốt cho văn học và (dường như) không có đánh giá nào được công bố kể từ khi Hartmanis '.

• Lớp câu hỏi này chưa đủ khám phá rằng thách thức tìm kiếm bằng chứng nghiêm ngặt được kết hợp chặt chẽ với thách thức chọn định nghĩa khởi đầu tốt.

• Những nhận xét chu đáo và bản phác thảo bằng chứng sâu sắc được cung cấp bởi Travis Service và Alex ten Brink được ghi nhận và đánh giá cao.

Vì câu hỏi mở và vì nó đang được thảo luận trên nhiều luồng weblog toán học ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ), nên câu hỏi này đã được gắn cờ để chuyển đổi sang Community Wiki.

Cập nhật II và Tóm tắt

Tôi đã trở thành nhận thức được rằng Juris Harmanis' 1978 chuyên khảo tính khả thi và chứng minh phức tạp Thuộc tính có thể được đọc như một chuyên sâu để đáp ứng Q1-5 . Hơn nữa, các bản phác thảo bằng chứng Q1 và Q4 (xuất sắc) được cung cấp dưới đây bởi Travis Service và Alex ten Brink cung cấp một sự khẳng định hiện đại và mở rộng kết luận chung của Hartmanis rằng:

Kết quả về sự phức tạp của các tính toán thay đổi hoàn toàn nếu chúng ta chỉ xem xét các thuộc tính của các tính toán có thể được chứng minh chính thức (nhấn mạnh bởi Hartmanis) ...

Do đó, chúng ta nên kỳ vọng rằng các kết quả về tính tối ưu của tất cả các chương trình tính toán cùng chức năng như một chương trình đã cho sẽ khác với kết quả tối ưu về tất cả các chương trình có thể được chứng minh chính thức tương đương với chương trình đã cho. ...

Chúng ta [nên] xem xét khả năng vấn đề nổi tiếng này [ ] có thể không giải được trong một lý thuyết toán học chính thức, chẳng hạn như lý thuyết tập hợp.$P\overset{?}{=}NP$

Rõ ràng từ cả chuyên khảo của Hartmanis và từ các câu trả lời do Travis và Alex cung cấp, Q1 Q15 vượt xa đáng kể so với lý thuyết phức tạp hiện nay. Hơn nữa, những câu hỏi / câu trả lời rõ ràng là đủ tinh tế để yêu cầu điều chỉnh xác định cẩn thận và biện minh cho các giải trình dài chuyên khảo mà tôi hy vọng sẽ không khiến mọi người không đăng câu trả lời thêm. :)

Để thảo luận thêm về kỹ thuật, hãy xem câu trả lời của Joel David Hamkins trên MathOverflow cho câu hỏi Một vấn đề có thể đồng thời là thời gian đa thức và không thể giải quyết được không? (được đề xuất bởi Alex ten Brink).

Nếu trong chuyên khảo của Hartmanis, người ta thay thế cho tính toán của các chức năng, đó là cụm từ mô phỏng động lực học, thì kết quả có thể được đọc như là một luận điểm về các giới hạn lý thuyết phức tạp đối với kỹ thuật hệ thống, đây là lý do thực tế tại sao các kỹ sư của chúng tôi quan tâm đến những điều này các vấn đề.

Một ý kiến ​​trái ngược với Hartmanis 'gần đây đã được Oded Goldreich đưa ra trong một lá thư gửi cho biên tập viên CACM có tựa đề "Về tính phức tạp tính toán" :

Thật không may, hiện tại chúng tôi thiếu câu trả lời lý thuyết tốt cho hầu hết các câu hỏi tự nhiên liên quan đến tính toán hiệu quả. Đây là trường hợp không phải vì chúng tôi hỏi những câu hỏi sai, mà là vì những câu hỏi này rất khó.

Tất nhiên, có thể hiểu được một cách hoàn hảo rằng ý kiến ​​của cả Hartmanis và Goldreich sẽ được chứng minh là đúng, ví dụ, một bằng chứng chính thức về tính không thể phân tách của PvsNP có thể được coi là hợp lệ hóa cả hai quan điểm.

Cập nhật tôi

Nhận xét chu đáo (bên dưới) của Travis Service và Alex ten Brink gợi ý (có hiệu lực) rằng trong Q1 cụm từ "không thể giải quyết được" không đồng nghĩa với "không thể kiểm chứng được" và câu trả lời cho Q2 5 có thể phụ thuộc vào sự khác biệt này. Không rõ ràng (với tôi) sự lựa chọn xác định nào sẽ dẫn đến các định lý mạnh nhất, và cũng vậy, nắm bắt tốt nhất trực giác của chúng ta về lớp P. Câu trả lời và nhận xét giải quyết câu hỏi này được hoan nghênh.

Một nhận xét của Felix Klein trong Toán học sơ cấp của ông theo quan điểm nâng cao: Hình học (1939) xuất hiện trong tâm trí:

Một ví dụ khác về một khái niệm xảy ra với độ chính xác ít nhiều trong nhận thức ngây thơ về không gian, mà chúng ta phải thêm vào như một sự bổ sung cho hệ thống hình học của chúng ta, là khái niệm về một đường cong (tùy ý) . Mọi người tin rằng anh ta biết đường cong là gì cho đến khi anh ta học được rất nhiều toán học đến mức vô số những bất thường có thể làm họ bối rối.

Cũng như các đường cong, do đó, với các ngôn ngữ được chấp nhận bởi các máy Turing trong  thứ mà trước đây (đối với tôi) dường như đơn giản và tự nhiên nhất trong tất cả các lớp phức tạp hiện nay làm tôi bối rối bởi (vô số?) Các thuộc tính không thể kiểm chứng và / hoặc không thể kiểm chứng của các thành viên của nó . Động lực rộng lớn trong việc hỏi Q1 Vang5 là tìm ra con đường xuyên qua lớp bụi khó hiểu này, nhưng câu trả lời được đưa ra cho đến nay (bởi Travis Service và Alex ten Brink) đã cung cấp thêm cơ sở cho sự nhầm lẫn!$P$

Thế hệ các nhà toán học của Klein đã lao động mạnh mẽ để tìm ra các định nghĩa tốt cho các đường cong và các yếu tố cơ bản khác của lý thuyết tập hợp, hình học và phân tích. Một tổng quan cấp tiểu học có thể được tìm thấy trong cuộc thảo luận Wikipedia về Alexander Horned Sphere

      
      Việc nhúng một quả cầu trong R3

Trong thế kỷ 20, phân tích các "đa tạp hoang dã" như hình cầu Alexander đã giúp làm rõ sự khác biệt giữa các đa tạp tôpô, đa tạp liên tục và đa tạp. Tương tự như vậy trong thế kỷ 21, có lẽ việc tinh chỉnh các định nghĩa liên quan đến sẽ giúp chế ngự các ngôn ngữ hoang dã của P và các máy Turing hoang dã mặc dù việc chỉ định các sàng lọc phù hợp sẽ không phải là nhiệm vụ dễ dàng.$P$$P$

Lý lịch

Những câu hỏi được liên kết này phát sinh từ các câu hỏi wiki cộng đồng MathOverflow " Những vấn đề hấp dẫn nhất của Turing trong toán học là gì? " Và " Những khái niệm nào được sử dụng nhưng không được xác định rõ ràng trong toán học hiện đại? " Đặc biệt, Colin Tan yêu cầu câu hỏi được hỏi ở trên là gì? đăng dưới dạng một câu hỏi riêng biệt.

Để biết nền tảng kỹ thuật, hãy xem câu hỏi TCS StackExchange "Giới hạn thời gian chạy trong P có thể quyết định được không? ", Cụ thể là bằng chứng ngắn gọn của Emanuele Viola rằng câu trả lời là "không". Cũng lưu ý rằng kết quả tương tự được chứng minh bởi Juris Hartmanis trong các tính toán khả thi và tính chất phức tạp có thể chứng minh được của ông (1978).

Nhật ký web Lance Fortnow / Bill GASARCH tuần này Độ phức tạp tính toán đang tổ chức cuộc thăm dò ý kiến ​​của họ " Có hay không?$P=NP$ " - câu hỏi thứ năm và cuối cùng được mời bình luận về câu hỏi của Fortnow / GASARCH.

Đối với câu hỏi 1 câu trả lời là không. Đặt một ngôn ngữ trong P và đặt M là bất kỳ thời gian đa thức nào Máy Turing nhận ra L (có thời gian chạy được coi là không thể giải quyết được). Với mỗi k ∈ N, hãy để M k là máy Turing trên đầu vào x có độ dài n vòng lặp đầu tiên cho n k bước sau đó chạy M trên x cho các bước n k + k và chấp nhận nếu M chấp nhận x (trong các n k + $L$$P$$M$$L$$k \in \mathbb{N}$$M_k$$x$$n$$n^k$$M$$x$$n^k + k$$M$$x$$n^k + k$các bước) và từ chối khác. Thời gian chạy của là Θ ( n k ) cho mỗi k .$M_k$$\Theta(n^k)$$k$

Vì chạy trong thời gian đa thức nên có một số k ′ ∈ N sao cho M chạy trong O ( n k ′ ) (ngay cả khi chúng ta không biết k ′ là gì) và do đó với tất cả k đủ lớn, M k nhận ra L và có một thời gian chạy quyết định.$M$$k' \in \mathbb{N}$$M$$O(n^{k'})$$k'$$k$$M_k$$L$

CHỈNH SỬA

Tôi nghĩ rằng câu trả lời sau đây đúng hơn về ý nghĩa của những gì người đăng ban đầu dự định với câu hỏi 1.

Định lý: Tồn tại một ngôn ngữ sao cho nếu N là bất kỳ Máy Turing nào quyết định L thì ít nhất một trong những điều sau đây là đúng:$L \in P$$N$$L$

1) Không tồn tại bằng chứng chấp nhận L , hoặc$N$$L$

2) Không tồn tại một bằng chứng cho thấy dừng lại trong các bước f ( n ) (đối với bất kỳ chức năng f ( n ) ) nào.$N$$f(n)$$f(n)$

$M$$M$$M$

$L = \{ n : \exists n' \geq n \mbox{ s.t. } M \mbox{ halts in } n' \mbox{ steps when run blank tape}\}$

$M$$L$$M$

$N$$N$$L$$N$$f(n)$$N$$1$$M$$N$$M$$N$$N$$L$$N$

$n^{i+1}$$n^i$$i$$\neq$

Sau khi suy nghĩ nhiều hơn về chủ đề này, tôi nghĩ rằng tôi đã tìm thấy câu trả lời (có thể) cho Q4 của bạn .

• Câu 4: Những thuộc tính nào khác của P (ngoài số mũ thời gian chạy) hiện được biết là không thể giải quyết được? Đối với những thuộc tính của P$P$$P$

Tôi đã chứng minh một biến thể của định lý Rice trả lời câu hỏi của bạn cho hầu hết các thuộc tính. Lần này tôi sẽ cố gắng giải thích rõ ràng hơn (câu trả lời của Travis Service rõ ràng và tổng quát hơn nhiều so với câu trả lời trước đây của tôi).

$E$$E$$O(f(n))$$f(n)=\Omega(n \log n)$$f(n)=\Omega(g(n))$$g(n)$

$f(n)$$P$

$S$$S$$S$$S \subseteq R$$S$

$P$$S \subseteq P$

$S$

$P(E)$$E$$P$$E$$S$$E$$(A, i)$$A$$i$$A$$A$$i$

$S$$s \in S$$S$$C$$s$$C$$g(n)$

function H(x)
h := simulate A on i for |X| steps and return whether it halted
if h == 'halted' then
    reject
else
    if C(x) accepts then
        accept
    else
        reject
    fi
fi

$O(n \log n)$

$P(H)$$A$$i$$A$$i$$t$$H$$X$$|X| \geq t$$H$$S$$P(H)$

$A$$i$$C$$s \in S$$P(H)$$P(H)$

Tôi có thể trả lời Q1 của bạn theo cách phủ định, từ đó cũng trả lời Q2 và Q3 theo cách phủ định. Tôi không chắc chắn về Q4 hoặc Q5 mặc dù.

• $L$$P$

$M$$T$$M$$T$

$T$$k$$T$$O(n^k)$$M$$k$$T$$T$$k$ $T$

$L$$P$$T$$O(n^k)$$k$$L$$M$$k$$T$

$L$$P$$T$$L$$T$

$L$$P$$M$$T$$L$$T$$L$

$L$$P$$L$$O(n^k)$$M$$n$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$L$

$M$$P$$L$$L$$k$$M$

Kiểu suy nghĩ về tính không ổn định này khá phổ biến rõ ràng, tôi nhớ một bài đăng (blog?) Về một vấn đề rất giống nhau: câu hỏi là "liệu có thể quyết định được liệu Pi có" số 0 cuối cùng "hay không, vì vậy liệu Pi có dừng số không trong đó không đại diện thập phân nếu bạn đi xuống đủ xa đại diện đó. Chúng tôi hiện không biết liệu đây là trường hợp. Chúng tôi thậm chí có thể không chứng minh được điều đó, hoặc thậm chí có thể độc lập với các hệ tiên đề của chúng tôi (và do đó không thể chứng minh được). Nhưng, vì câu trả lời là đúng hoặc sai, một TM trả về đúng và một TM trả về sai sẽ quyết định vấn đề hoặc do đó vấn đề là có thể quyết định được.

Tôi sẽ xem nếu tôi có thể tìm thấy bài đăng trên internet ở đâu đó.

Chỉnh sửa:

Tôi tìm thấy nó trên Mathoverflow .