Công thức ngắn nhất cho một CNF đơn điệu dài hạn

Công thức CNF đơn điệu với m thuật ngữ trên n biến ( ) là một công thức có dạng f (x_1, \ ldots, x_n) = \ bigwedge C_i , trong đó mỗi C_i là một OR của một số tập hợp con của các biến x_1, \ ldots, x_n và i nằm trong khoảng từ 1 đến m . f ( x 1 , ... , x n ) = ⋀ C i C i x 1 , ... , x $x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

Ví dụ: $(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$ là một công thức CNF đơn điệu với 2 thuật ngữ trên 4 biến.

Tôi đang tìm công thức ngắn nhất (không nhất thiết là đơn điệu, không nhất thiết là CNF, bất kỳ công thức nào cũng được!) Trên cùng một bộ biến đại diện cho cùng chức năng như một công thức CNF đơn điệu đã cho trên n biến với n thuật ngữ. (Lưu ý rằng số lượng thuật ngữ và biến là như nhau.)

Một cách rõ ràng để xây dựng công thức là mở rộng định nghĩa CNF đã cho, điều này sẽ cho chúng ta một công thức có kích thước $O(n^2)$ . (Hãy xác định kích thước của công thức là độ dài của công thức khi nó được viết dưới dạng chuỗi.) Tôi muốn biết liệu đây có phải là cấu trúc chung hiệu quả nhất hay không, nếu mỗi CNF đơn điệu có tồn tại một công thức có kích thước $o(n^2)$ .

Tôi chỉ muốn biết liệu điều này có khả thi hay không, tôi không thực sự quan tâm đến một thuật toán. Nếu điều này là không thể, một chức năng phục vụ như một ví dụ mẫu sẽ rất tuyệt. Con trỏ đến nơi tôi có thể tìm thấy một câu trả lời trong các tài liệu cũng được đánh giá cao.

EDIT: Tôi đang thêm một ví dụ để làm cho rõ ràng hơn.

Giả sử công thức nhập là $f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$ . Đây là một công thức CNF đơn điệu. Một công thức ngắn hơn đại diện cho chức năng tương tự như sau: $x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$ .

Bạn có thể nhận được một thấp hơn bị ràng buộc sử dụng một đối số đếm: có -term CNFs trên biến (điều này rất dễ dàng nhưng đòi hỏi chỉ là một dịch vụ chăm sóc ít nhất là để làm chắc chắn rằng không có quá nhiều), nhưng có nhiều công thức (hoặc thậm chí các mạch) có kích thước tối đa . $\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

Có vẻ như việc giành được yếu tố cuối cùng sẽ khó khăn vì nó đòi hỏi phải chứng minh một bậc hai giới hạn thấp hơn về kích thước công thức, và tôi đoán là một vài kỹ thuật hiện có cho điều này không đủ. thậm chí có thể là câu trả lời đúng - ít nhất là đối với kích thước mạch - sử dụng một số kỹ thuật giống như bốn tiếng Nga .$\log n$$O(n^2/\log n)$

Hãy xem xét rằng đối với bất kỳ CNF nào, bạn có thể tính toán tập hợp các hàm nguyên tố (trong đó bất kỳ mức tối thiểu nào phải là tập hợp con) bằng cách thực hiện đóng cửa theo độ phân giải và áp dụng loại bỏ trợ cấp.

Tuy nhiên, trong trường hợp của bất kỳ CNF đơn điệu nào , việc đóng độ phân giải của là (vì không có nghĩa đen, không có độ phân giải có thể). Do đó, CNF tối thiểu là tập hợp các hàm nguyên tố, chính xác là công thức bạn đã có.$F$$F$$F$

Tất nhiên, tôi cho rằng bạn không muốn giới thiệu các biến mới.

Nếu bạn muốn đảm bảo rằng bạn có một số công thức có thuật ngữ, thì như bạn đề xuất, cách duy nhất để có được điều đó là mở rộng một số mệnh đề bằng cách thêm các biến bị thiếu. Bất kỳ CNF nào như vậy cũng phải có cùng số lượng chữ (số đo kích thước bạn đề nghị tôi tin) cho một và cố định .$n$$f$$n$