Câu đố cắt

Vấn đề: Chúng tôi được cung cấp một bộ gậy có chiều dài nguyên. Tổng số độ dài của chúng là n (n + 1) / 2.

Chúng ta có thể phá vỡ chúng để lấy các que có kích thước trong thời gian đa thức không? ${1,2,\ldots,n}$

Đáng ngạc nhiên, tài liệu tham khảo duy nhất tôi tìm thấy cho vấn đề này là cuộc thảo luận cổ xưa này:

http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html

Những gì khác được biết về vấn đề? Chúng ta có thể chứng minh vấn đề là 'trong tình trạng lấp lửng' không?

Cập nhật: Vấn đề gậy cắt có một ràng buộc là mỗi thanh dài ít nhất đơn vị. (Xem các bình luận và câu trả lời của Tsuyoshi cho trường hợp không bị ràng buộc).$n$

Thận trọng: Như Jukka Suomela đã nhận xét về câu hỏi, trang được liên kết từ câu hỏi là về một vấn đề khác với vấn đề được nêu trong câu hỏi rằng vấn đề trên trang có một hạn chế là độ dài của các que đã cho lớn hơn hoặc bằng n. Câu trả lời này là về vấn đề mà không có hạn chế này. Kể từ khi bình luận Emil về các câu hỏi liên quan đến các vấn đề với những hạn chế, không có sự mâu thuẫn giữa lời nhận xét của mình và câu trả lời sau đây.

Vấn đề là NP-đầy đủ, ngay cả khi các số được đưa ra một cách đơn nhất.

Vấn đề 3 phân vùng là vấn đề sau:
Trường hợp : Số nguyên dương ₁ , Số, một _n đơn vị, trong đó n = 3 và tổng của n số nguyên bằng mB, sao cho mỗi a _i thỏa mãn B / 4 < a _i <B / 2.
Câu hỏi : Có thể các số nguyên một ₁ , ..., a _n được phân chia thành multisets m sao cho tổng của mỗi MultiSet bằng B?

Vấn đề 3 phân vùng là NP-đầy đủ ngay cả khi ₁ , Mạnh , _{n hoàn} toàn khác biệt [HWW08] (cảm ơn Serge Gaspers đã cho tôi biết về điều này ). Có thể giảm phiên bản giới hạn của vấn đề 3 phân vùng này thành vấn đề được đề cập như sau.

Giả sử rằng chúng ta được đưa ra một ví dụ của bài toán 3 phân vùng bao gồm các số nguyên dương khác biệt a ₁ , Lít, a _n . Đặt m = n / 3 và B = (a ₁ + Hoài + a _n ) / m và để N là cực đại trong số a _i . Hãy xem xét trường hợp sau của vấn đề thanh: trường hợp này bao gồm một thanh có độ dài k cho mỗi k∈ {1, Vách, N} {a ₁ , Lỗi , a _n } và m gậy có độ dài B. Bằng cách sử dụng thực tế rằng mỗi a _i thỏa mãn _i > B / 4 N / 2, thật dễ dàng để chứng minh rằng vấn đề thanh này có một giải pháp khi và chỉ khi trường hợp của vấn đề 3 phân vùng có giải pháp.

Người giới thiệu

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger. Thực hiện nhiều bước của trình tự độ: Tối đa hóa là dễ dàng, tối thiểu hóa là khó khăn. Thư nghiên cứu hoạt động , 36 (5): 594 Từ596, tháng 9 năm 2008 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004