Tại sao một máy tính rất khó để chứng minh một cái gì đó?

Đây có thể được coi là một câu hỏi ngu ngốc. Tôi cũng không phải là chuyên ngành khoa học máy tính (và tôi cũng chưa phải là chuyên ngành toán học), vì vậy xin vui lòng cho tôi biết nếu bạn nghĩ rằng những câu hỏi sau đây cho thấy một số giả định sai lầm lớn.

Trong khi có kế hoạch chính thức hóa Định lý cuối cùng của Fermat (xem phần trình bày này ), tôi chưa bao giờ đọc hoặc nghe rằng một máy tính có thể chứng minh ngay cả một định lý "đơn giản" như Pythagoras '.

Tại sao không? (/ Là) khó khăn chính (/ ies) đằng sau việc thiết lập một bằng chứng tự chủ hoàn toàn bằng máy tính, chỉ được hỗ trợ bởi một số "tiên đề tích hợp"?

Một câu hỏi thứ hai tôi muốn hỏi là như sau: Tại sao chúng ta có thể chính thức hóa nhiều bằng chứng, trong khi hiện tại máy tính không thể tự mình chứng minh một định lý? Tại sao điều đó "khó hơn"?

automated-theorem-proving

— Max Muller
nguồn

Hai khó khăn chính. Tính không đầy đủ (xem Định lý của Gôdel) và kích thước rộng lớn của không gian tìm kiếm (có nhiều định lý không thú vị hơn nhiều so với các định lý thú vị). Tiến bộ đáng kể đã được thực hiện bằng cách sử dụng các trợ lý bằng chứng (Coq, Isabelle, Agda, v.v.). Với những điều này, nhà toán học viết các định lý và bổ đề và trợ lý chứng minh giúp tìm ra các bằng chứng và đảm bảo rằng các bằng chứng có giá trị logic.

— Dave Clarke

@ Dave Clarke: ok, vì vậy trên thực tế bạn nói rằng một máy tính là có khả năng chứng minh định lý (mới), nhưng số lượng lớn các tìm kiếm có thể làm cho nó khó khăn cho anh / cô ấy / nó để viết một định lý mà có bất kỳ giá trị hoặc là thú vị, tôi có đúng không Bạn có thể giải thích tại sao Định lý của Gôdel và "Không đầy đủ" có liên quan ở đây không? Hơn nữa, bạn có một tài liệu tham khảo của một bài báo nghiên cứu hoặc bài báo khảo sát trong đó nó được chứng minh rằng một máy tính thực sự chứng minh một định lý? Cuối cùng, có rất nhiều nghiên cứu đang diễn ra để cố gắng làm cho máy tính chứng minh các định lý? Khu vực nghiên cứu này được gọi là gì (tiếp theo ...)

— Max Muller

và bạn có biết tài liệu giới thiệu tốt về nó? Các điều kiện tiên quyết trong cả toán học, đặc biệt là Khoa học Máy tính để thực sự hiểu tài liệu này là gì?

— Max Muller

Bạn có thể quan tâm đến một số công việc của Dorian Zeilberger, chẳng hạn như " Dạy máy tính cách khám phá (!) Và sau đó Chứng minh (!!) (tất cả bằng chính nó (!!!)) Tương tự phỏng đoán 3x + 1 khét tiếng của Collatz " ( math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/collatz.html ). Đồng tác giả thường xuyên của Zeilberger, Shalosh B. Ekhad, là một máy tính.

— Rob Simmons

Câu hỏi sau đây cũng đưa ra một số ví dụ hay về máy tính giúp chứng minh các định lý: cstheory.stackexchange.com/questions/82/ mẹo

— Mugizi Rwebangira

Câu trả lời:

Trong khi có kế hoạch chính thức hóa Định lý cuối cùng của Fermat (xem phần trình bày này), tôi chưa bao giờ đọc hoặc nghe rằng một máy tính có thể chứng minh ngay cả một định lý "đơn giản" như Pythagoras '.

Năm 1949, Tarski đã chứng minh rằng hầu hết mọi thứ trong The Elements đều nằm trong một mảnh logic có thể quyết định, khi ông cho thấy tính quyết định của lý thuyết bậc nhất về các trường kín thực sự. Vì vậy, định lý Pythagore nói riêng không được nói đến nhiều vì nó không quá khó.

$A$ $A$

$A$ $B$ $A$

— Neel Krishnaswami
nguồn

Hai khó khăn chính. Tính không hoàn chỉnh (xem Định lý không đầy đủ của Gôdel) và kích thước rộng lớn của không gian tìm kiếm (có nhiều định lý không thú vị hơn nhiều so với các định lý thú vị). Tiến bộ đáng kể đã được thực hiện bằng cách sử dụng các trợ lý bằng chứng ( Coq , Isabelle, Agda, v.v.). Với những điều này, nhà toán học viết các định lý và bổ đề và trợ lý chứng minh giúp tìm ra các bằng chứng và đảm bảo rằng các bằng chứng có giá trị logic.

$P$ $Q$ $P\wedge Q$

Bài viết này mô tả cách sử dụng trợ lý chứng minh Coq để chứng minh định lý bốn màu. Toán học cơ giới ( tổng quan ) là một lĩnh vực của TCS dành cho (bán) các định lý chứng minh tự động (và nói chung sử dụng máy tính để giúp các nhà toán học).

Một lĩnh vực mà định lý tự động chứng minh (sắp xếp) đang tạo ra ảnh hưởng là kiểm tra mô hình và tìm kiếm mô hình. Kiểm tra mô hình liên quan đến việc xác định xem một hệ thống nhất định có thỏa mãn một thuộc tính nhất định hay không, trong khi việc tìm kiếm mô hình tìm thấy một hệ thống để thỏa mãn một tập hợp các thuộc tính nhất định. Công cụ Alloy sử dụng kiểm tra mô hình và tìm kiếm mô hình để có hiệu quả tốt, và nó hoàn toàn có thể sử dụng được.

— Dave Clarke
nguồn

Tôi không thể chọn giữa hai câu trả lời này, vì cả hai đều tuyệt vời. Tôi đã tung một đồng xu để quyết định chọn cái nào. Tôi xin lỗi tôi đã không chọn bạn! Dù sao cũng cảm ơn rất nhiều.

— Max Muller

Bạn vài khi thắng, vài khi thua cuộc.

— Dave Clarke

Một tài khoản toán học ít kỹ thuật hơn về bốn bằng chứng màu sắc và tầm quan trọng của nó đã được công bố trong một vấn đề thông báo AMS gần đây (toàn bộ vấn đề có thể được khuyến khích đọc cho những người quan tâm đến câu hỏi của OP).

— huitseeker