Công thức giới hạn kích thước thấp hơn cho các hàm AC0

Câu hỏi:

Kích thước công thức được biết đến tốt nhất giới hạn dưới cho một hàm rõ ràng trong AC ^{0 là} gì? Có một chức năng rõ ràng với một thấp hơn bị ràng buộc? $\Omega(n^2)$

Lý lịch:

Giống như hầu hết các giới hạn dưới, kích thước giới hạn công thức thấp hơn rất khó để đạt được. Tôi quan tâm đến giới hạn kích thước công thức thấp hơn bộ cổng phổ quát tiêu chuẩn {VÀ, HOẶC, KHÔNG}.

Điều tốt nhất kích thước thức được biết đến dưới ràng buộc cho một chức năng rõ ràng trên bộ cửa này là cho một chức năng được xác định bởi Andreev. Đây ràng buộc đã được thể hiện bởi Håstad, cải thiện của Andreev dưới của . Một rõ ràng thấp hơn ràng buộc là Khrapchenko của thấp hơn bị ràng buộc đối với các chức năng tương đương. $\Omega(n^{3-o(1)})$ $\Omega(n^{2.5-o(1)})$ $\Omega(n^2)$

Tuy nhiên, hai chức năng này không nằm trong AC ⁰ . Tôi tự hỏi nếu chúng ta biết một hàm rõ ràng trong AC ⁰ với giới hạn dưới bậc hai (hoặc tốt hơn). Điều tốt nhất ràng buộc tôi biết là thấp hơn bị ràng buộc đối với các chức năng Yếu tố khác biệt, như thể hiện bởi Nechiporuk. Lưu ý rằng các chức năng yếu tố khác biệt là ở AC ⁰ , vì vậy tôi đang tìm một giới hạn thấp hơn cho một rõ ràng AC ⁰ chức năng đó là tốt hơn so với , tốt nhất là . $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2/\log n)$ $\Omega(n^2)$

Đọc thêm:

Một tài nguyên tuyệt vời về chủ đề này là "Độ phức tạp của chức năng Boolean: Những tiến bộ và biên giới" của Stasys Jukna. Một bản nháp của cuốn sách có sẵn miễn phí trên trang web của mình.

— Robin Kothari
nguồn

Lý do thiếu các giới hạn siêu tuyến cho các hàm

có thể là một số khả năng tự giảm cho các hàm

không? tức là nếu chúng ta có một

lowerbound (nơi

là không phụ thuộc vào độ sâu) thì chúng ta có được một lowerbound superpoly.

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

n^{1 + ϵ}

$n^{1+\epsilon}$

ϵ

$\epsilon$

— Kaveh

@Kaveh: Tôi không chắc là tôi hiểu. Chúng tôi đã có một

giảm ràng buộc cho một hàm trong

(yếu tố khác biệt).

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

A C^{0}

$AC^0$

— Robin Kothari

Xin lỗi, thay thế siêu tuyến tính bằng siêu bậc hai. Tôi có nghĩa là một cái gì đó tương tự như kết quả Allender-Koucky cho

. Số mũ của

có thể lớn hơn. Một kết quả như vậy có thể giải thích tại sao khó tìm thấy các giới hạn

cho các hàm

T C^{0}

$TC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

— Kaveh

Dường như bất kỳ vấn đề nào hoàn thành đối với

trong phần giảm Turing

đều có khả năng tự giảm mạnh, nhưng điều này dường như không mang lại những gì tôi mong đợi vì kích thước tự giảm có thể lớn về mặt đa thức.

A C^{0}

$AC^0$

N C^{0}

$NC^0$

— Kaveh

Câu trả lời:

Một câu hỏi hay! Khrapchenko chắc chắn không thể đưa ra giới hạn bậc hai cho các hàm . Trên thực tế, giới hạn dưới của anh ta ít nhất là bình phương của độ nhạy trung bình. Và tất cả các hàm trong đều có độ nhạy trung bình đa logarit. Subbotovskaya-Andreev rõ ràng cũng không thể cung cấp chức năng như vậy bởi vì đối số họ sử dụng (kết quả hạn chế ngẫu nhiên trong các công thức nhỏ hơn nhiều) chính xác là lý do buộc kích thước mạch lớn; Bổ đề chuyển đổi của Hastad (không hoàn toàn chắc chắn, chỉ là một trực giác). Hy vọng duy nhất là Nechiporuk. Nhưng đối số của anh ta không thể đưa ra nhiều hơn $AC^0$ $AC^0$ $AC^0$ $n^2/\log n$ , bởi lý do thông tin lý thuyết. Vì vậy, có thể là mọi thứ trong đều có công thức có kích thước bậc hai (hoặc thậm chí nhỏ hơn)? Tôi không tin vào điều đó, nhưng không thể nhanh chóng tìm thấy một ví dụ. $AC^0$

Trên thực tế, hiện tượng Allender-Koucky cũng phát sinh trong bối cảnh khác - về độ phức tạp của biểu đồ. Nói rằng một mạch của biến đại diện cho một hai phía đồ thị trên đỉnh nếu cho mỗi đầu vào vector với chính xác hai 1s là, nói, vị trí và ( , ) mạch chấp nhận đỉnh iff và $2n$ $n\times n$ $G$ $V=\{1,\ldots,2n\}$ $a$ $i$ $j$ $i\leq n$ $j>n$ $a$ $i$ $j$ liền kề trong . Vấn đề: triển lãm một đồ thị rõ ràng đòi hỏi ít nhất cửa để được đại diện bởi một giọng đều đều -circuit. Có vẻ như là một câu hỏi vô tội (vì hầu hết các đồ thị yêu cầu về cửa. Nhưng bất kỳ đồ thị như vậy sẽ cho chúng ta một hàm boolean của biến đòi hỏi phi-monotone mạch log chuyên sâu của kích thước siêu tuyến tính (theo kết quả Valiant). Như vậy, ngay cả minh giảm giới hạn độ sâu-3 mạch có thể là một thách thức. $G$ $G$ $n^{\epsilon}$ $\Sigma_3$ $n^{1/2}$ $2m=2\log n$ $n^{\epsilon}$

— Stasys
nguồn

Chào mừng đến với cstheory. :) (btw, cuốn sách mới của bạn trông khá thú vị, tiếc là tôi không phải là người nói tiếng Anh bản địa nên không thể giúp đọc bằng chứng.)

— Kaveh

Trên thực tế, bất kỳ ý kiến / phê bình về nội dung / tài liệu tham khảo và như vậy là tại thời điểm này cũng rất quan trọng. Phiên bản hiện tại là đây . Thành viên: bạn bè Mật khẩu: Catchthecat

— Stasys

Cảm ơn bạn :) Tôi sẽ đọc các chương cuối cùng về độ phức tạp của mệnh đề.

— Kaveh

Cảm ơn rất nhiều cho câu trả lời! Nếu bạn nghĩ về một hàm trong

mà bạn phỏng đoán đòi hỏi một công thức có kích thước

, tôi sẽ muốn biết.

A C^{0}

$AC^0$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Robin Kothari

Cảm ơn, Kaveh, vì muốn xem các chương về độ phức tạp của bằng chứng!

Liên quan đến câu hỏi của Robin, đầu tiên lưu ý chứa các hàm yêu cầu công thức (và thậm chí cả mạch) có kích thước cho mọi hằng số . Điều này theo sau, từ một thực tế đơn giản rằng chứa tất cả các DNF với các đơn thức liên tục dài. Do đó, chứa ít nhất hàm , với mọi . Mặt khác, chúng ta có nhiều nhất về các hàm tính toán bằng các công thức có kích thước $AC^0$ $n^k$ $k$ $AC^0$ $AC^0$ $\exp(n^k)$ $k$ $\exp(t\log n)$ $t$ .

Tôi đã thảo luận ngắn gọn về vấn đề nhận được giới hạn dưới rõ ràng là hoặc lớn hơn với Igor Sergeev (từ trường đại học Moscow). Một khả năng có thể là sử dụng phương pháp của Andreev, nhưng áp dụng cho một số chức năng tính toán khác dễ dàng hơn thay vì Parity. Nghĩa là, hãy xem xét một hàm gồm biến có dạng trong đó và là một hàm trong $n^2$ $n$ $F(X)=f(g(X_1),\ldots,g(X_b))$ $b=\log n$ $g$ của biến ; là một số hàm phức tạp nhất của biến (chỉ tồn tại của là đủ). Chúng tôi chỉ cần là hàm không thể "giết chết" theo nghĩa sau đây: nếu chúng ta sửa chữa tất cả nhưng biến trong , sau đó nó phải có khả năng sửa chữa tất cả nhưng một trong các biến còn lại của sao cho subfunction thu được của là một biến duy nhất. Sau đó áp dụng lập luận Andreev và sử dụng kết quả Hastad rằng hằng số bị thu hẹp ít nhất là (không chỉ là $AC^0$ $n/b$ $f$ $b$ $f$ $g$ $k$ $X$ $g$ $g$ $2$ $3/2$ như được hiển thị trước đó bởi Sybbotovskaya), kết quả giới hạn dưới của sẽ vào khoảng . Tất nhiên, chúng ta biết rằng mọi hàm trong đều có thể bị giết bằng cách sửa tất cả trừ , đối với một số hằng số . Nhưng để có được một thấp hơn bị ràng buộc nó sẽ là đủ để tìm một chức năng rõ ràng trong mà không thể bị giết bằng cách sửa chữa tất cả ngoại trừ, nói, $F(X)$ $n^3/k^2$ $AC^0$ $n^{1/d}$ $d\geq 2$ $n^2$ $AC^0$ $n^{1/2}$ biến. Người ta nên tìm kiếm một chức năng như vậy ở độ sâu lớn hơn hai.

Trên thực tế, đối với hàm như trên, người ta có thể đạt được giới hạn thấp hơn khoảng thông qua đối số tham lam đơn giản, không Nechiporuk, không Subbotovskaya và không hạn chế ngẫu nhiên! Đối với điều này, chỉ đơn giản là "hàm bên trong" g (Y) là không tầm thường (phụ thuộc vào tất cả các biến của nó ). Hơn nữa, các ràng buộc giữ cho bất kỳ cơ sở nào của các cổng fanin không đổi, không chỉ cho các công thức De Morgan. $F(X)$ $n^2/\log n$ $n/b$

Chứng minh: Cho một công thức cho với lá , chọn trong mỗi khối một biến xuất hiện số lần nhỏ nhất dưới dạng một lá. Sau đó đặt tất cả các biến còn lại thành các hằng tương ứng để mỗi biến thành một biến hoặc phủ định của nó. Công thức thu được sau đó sẽ nhỏ hơn ít nhất lần so với công thức ban đầu. Do đó, ít nhất là $F(X)$ $s$ $X_i$ $g(X_i)$ $n/b$ $s$ $n/b=n/\log n$ nhân với kích thước công thức của , nghĩa là . QED $2^b/\log b=n/\log\log n$ $f$ $s\geq n^{2-o(1)}$

Để có được trở lên, người ta phải kết hợp hiệu ứng thu nhỏ Subbotovskaya-Hastad theo các hạn chế ngẫu nhiên. Một ứng cử viên có thể là một số phiên bản của chức năng Sipser được sử dụng bởi Hastad để chỉ ra rằng các mạch độ sâu mạnh hơn các độ sâu . $n^2$ $(d+1)$ $d$

— Stasys
nguồn