Độ phức tạp tính toán của bài toán 3 phân vùng với các số riêng biệt

Câu hỏi này liên quan đến câu trả lời tôi đã đăng để trả lời câu hỏi khác.

Vấn đề 3 phân vùng là vấn đề sau:
Trường hợp : Số nguyên dương a ₁ , Số, a _n , trong đó n = 3 và tổng của số nguyên n bằng mB, sao cho mỗi a _i thỏa mãn B / 4 <a _i <B / 2.
Câu hỏi : Có thể các số nguyên một ₁ , ..., a _n được phân chia thành multisets m sao cho tổng của mỗi MultiSet bằng B?

Người ta biết rằng vấn đề 3 phân vùng là NP-đầy đủ theo nghĩa mạnh là nó vẫn hoàn thành NP ngay cả khi các số trong đầu vào được đưa ra một cách đơn nhất. Xem Garey và Johnson cho một bằng chứng.

Câu hỏi : Có phải vấn đề 3 phân vùng vẫn là NP hoàn chỉnh nếu các số a ₁ , xóa, a _n đều khác nhau không? Liệu nó vẫn còn NP-đầy đủ theo nghĩa mạnh mẽ?

(Cảm giác của tôi là câu trả lời cho cả hai câu hỏi có lẽ là có bởi vì tôi không thấy bất kỳ lý do nào khiến vấn đề trở nên dễ dàng hơn nếu tất cả các số đều khác biệt.)

Dường như không có bằng chứng nào ở Garey và Johnson thiết lập tính đầy đủ NP của phiên bản giới hạn này.

Trong câu trả lời cho câu hỏi khác được liên kết ở trên, tôi đã đưa ra một bằng chứng rằng vấn đề 6 phân vùng (được xác định tương tự) với các số riêng biệt là NP-đầy đủ theo nghĩa mạnh.

cc.complexity-theory np-hardness

— Tsuyoshi Ito
nguồn

Tôi nghĩ rằng đây là một vấn đề quan trọng; Tôi đã tìm thấy một số bài báo trong tài liệu tuyên bố hoặc cho rằng phiên bản đã đặt là khó, không có lời biện minh nào tốt hơn trích dẫn cho phiên bản nhiều trang ở Garey và Johnson, và sử dụng giả định đó để khẳng định tính hoàn chỉnh của NP cho một số vấn đề khác .

— David Eppstein

Điều này được chứng minh trong [1, Hệ quả 7], phân vùng 3 mạnh về NP-hard khi các số nguyên đều khác biệt. Giới hạn không được áp đặt trong [1], nhưng điều này sẽ không tạo ra sự khác biệt. $a_1, \ldots, a_n$ $B/4 < a_i < B/2$

[1]: Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger: Thực hiện nhiều bước của trình tự độ: Tối đa hóa là dễ dàng, tối thiểu hóa là khó khăn. Điều hành. Độ phân giải Lett. 36 (5): 594-596 (2008). DOI

— Serge Gaspers
nguồn

Áp dụng giới hạn được thực hiện dễ dàng bằng cách thêm cùng một số lượng lớn vào tất cả các .

B / 4 < a_{i} < B / 2

$B/4 < a_i < B/2$

a_{i}

$a_i$

— David Eppstein

Thật vậy, thật đơn giản để áp đặt các giới hạn này.

— Serge Gaspers

Cảm ơn, nó trả lời hoàn toàn câu hỏi của tôi. Lưu ý rằng vấn đề hoàn thành hình vuông Latin một phần có thể dễ dàng được coi là trường hợp đặc biệt của kết hợp 3 chiều. Tôi đã không thay thế 3DM bằng PLSC, nhưng sau khi thấy bằng chứng, cách tiếp cận có vẻ khá tự nhiên.

— Tsuyoshi Ito