Mối liên quan giữa độ cứng của việc nhận biết một lớp đồ thị và đặc tính đồ thị con bị cấm

Tôi đang xem xét các lớp biểu đồ có thể được đặc trưng bởi các đồ thị con bị cấm.

Nếu một lớp đồ thị có một tập hợp hữu hạn các đồ thị con bị cấm, thì có một thuật toán nhận dạng thời gian đa thức tầm thường (người ta chỉ có thể sử dụng lực lượng vũ phu). Nhưng một họ vô hạn của các đồ thị con bị cấm không bao hàm độ cứng: có một số lớp với danh sách vô số các đồ thị con bị cấm sao cho sự nhận biết cũng có thể được kiểm tra trong thời gian đa thức. Đồ thị hợp âm và hoàn hảo là những ví dụ, nhưng trong những trường hợp đó, có một cấu trúc "đẹp" trong gia đình bị cấm.

Có ai biết mối liên hệ giữa độ cứng của việc công nhận một lớp học và "hành vi xấu" của gia đình bị cấm không? Một mối quan hệ như vậy nên tồn tại? "Hành vi xấu" này đã được chính thức hóa ở đâu đó?

Mặc dù có vẻ trực quan rằng danh sách các đồ thị con bị cấm (gây ra) cho một lớp đồ thị có nhận dạng NP-hard nên có một số phức tạp "nội tại", gần đây tôi đã tìm thấy một số bằng chứng tiêu cực nổi bật về trực giác này trong tài liệu.$\mathscr{C}$

Có lẽ đơn giản nhất để mô tả là như sau, được lấy từ một bài báo của B. Lévêque, D. Lin, F. Maffray và N. Trotignon .

Đặt là họ đồ thị gồm một chu kỳ có độ dài ít nhất bốn, cộng với ba đỉnh: hai đỉnh liền kề với đỉnh u của chu kỳ và một tiếp giáp với đỉnh v của chu kỳ, trong đó u và v là không liên tiếp trong chu kỳ (và không có cạnh khác).$F$$u$$v$$u$$v$

Bây giờ, hãy đặt là họ đồ thị được cấu tạo chính xác theo cùng một cách, ngoại trừ việc bạn thêm bốn đỉnh: hai đỉnh liền kề với cùng một đỉnh u của chu kỳ (như trước), nhưng bây giờ hai liền kề với cùng một đỉnh v của chu kỳ, trong đó một lần nữa u và v không liên tiếp.$F'$$u$$v$$u$$v$

Sau đó, lớp biểu đồ có là biểu đồ con cảm ứng bị cấm có nhận dạng thời gian đa thức, trong khi nhận dạng của lớp có F ′ là biểu đồ con cảm ứng bị cấm là NP-hard.$F$$F'$

Do đó, tôi thấy khó có thể hình dung được bất kỳ điều kiện chung nào mà một danh sách các biểu đồ con bị cấm phải đáp ứng khi nó dẫn đến một lớp có nhận dạng cứng (NP-), vì điều kiện đó sẽ phải tách "rất giống nhau" và F ′ ở trên.$F$$F'$

Câu trả lời của @Hugo thực sự rất hay và ở đây tôi muốn thêm một số ý kiến ​​cá nhân.

Có những gia đình liên quan tương tự như đồ thị trong gia đình F và F '. Các đồ thị trong gia đình B1 trong bài viết thường được gọi là kim tự tháp. Và đồ thị trong gia đình B2 thường được gọi là lăng kính. Xem câu trả lời ở đây để minh họa. Trong tài liệu về các vấn đề phát hiện sơ đồ con gây ra, chúng được sử dụng để phát hiện các lỗ chẵn / lẻ, là các chu kỳ không hợp âm với độ dài chẵn / lẻ. Theo định lý đồ thị hoàn hảo mạnh mẽ nổi tiếng, đồ thị G là hoàn hảo nếu cả G và phần bù của G không chứa các lỗ lẻ.

Đối với các gia đình của kim tự tháp và lăng kính, trên thực tế có sự khác biệt giữa chúng - một cái có một cây con có ba lá, còn cái kia thì không. Đây được gọi là vấn đề "ba trong một cây" , đã được nghiên cứu bởi Chudnovsky và Seymour. Điều đáng ngạc nhiên là việc xác định xem có một cây cảm ứng nào chứa ba nút cho trước hay không, trong khi vấn đề "bốn cây trong một trung tâm" là NP-hard . (Cây trung tâm là cây có nhiều nhất một nút có độ lớn hơn 2.) Sự khác biệt giữa F và F 'dường như được gây ra bởi cùng một lý do.

Nhưng có vẻ như một đặc tính hoàn chỉnh vẫn còn khó, bởi vì chúng ta thậm chí không biết sự phức tạp của việc phát hiện đồ thị trong một số gia đình trông đủ đơn giản, như đồ thị không có lỗ lẻ (!). Và đối với các gia đình mà chúng ta biết tồn tại thuật toán đa thức thời gian, như đồ thị hoàn hảo và đồ thị không có lỗ, mặc dù có các chiến lược chung (dựa trên phân tách) để thiết kế thuật toán, người ta phải đưa ra một định lý cấu trúc cụ thể cho họ Đây thường là một quá trình phụ thuộc vào gia đình và hầu hết thời gian các bằng chứng thực sự dài. ( Đây là một ví dụ cho biểu đồ không có lỗ chẵn, trong đó bài báo dài hơn 90 trang.)

Tuy nhiên, sẽ rất thú vị khi có một số phân loại cho các vấn đề phát hiện sơ đồ con gây ra, theo nghĩa giống như vấn đề ba trong một cây.