Độ phức tạp Kolmogorov với các ngôn ngữ mô tả yếu

Chúng ta có thể nghĩ về độ phức tạp Kolmogorov của một chuỗi $x$ là độ dài của chương trình ngắn nhất $P$và đầu vào $y$ sao cho $x = P(y)$ . Thông thường các chương trình này được rút ra từ một số bộ hoàn chỉnh Turing (như $P$ có thể là mô tả của máy Turing hoặc có thể là chương trình trong LISP hoặc C). Ngay cả khi chúng ta nhìn vào độ phức tạp Kolmogorov giới hạn tài nguyên, chúng ta vẫn nhìn vào các máy Turing nhưng với một số giới hạn về thời gian chạy hoặc sử dụng không gian của chúng. Một trong những hậu quả của điều này, là sự phức tạp của một chuỗi là không thể giải quyết được. Đây có vẻ như là một tính năng khó xử.

Điều gì xảy ra nếu chúng ta sử dụng các mô hình tính toán hoàn chỉnh không Turing để xác định độ phức tạp Kolmogorov?

Nếu chúng ta chọn một mô hình đủ hạn chế (giả sử mô hình của chúng ta chỉ có thể thực hiện nhận dạng), thì độ phức tạp của một chuỗi trở nên có thể quyết định, mặc dù chúng ta cũng mất định lý bất biến. Có thể có một mô hình đủ mạnh để có độ phức tạp bằng nhau (tối đa là một giá trị bù không đổi, hoặc thậm chí là một hệ số nhân) với mô hình Turing-perfect, nhưng đủ yếu để vẫn cho phép độ phức tạp của chuỗi có thể quyết định được không? Có một tên tiêu chuẩn cho độ phức tạp Kolmogorov với các mô hình tính toán hoàn chỉnh không Turing không? Tôi có thể đọc thêm về điều này ở đâu?

Giả sử tồn tại một số độ phức tạp "có thể quyết định" khác với độ phức tạp Kolmogorov K ( s ) bởi sự dịch chuyển, theo yếu tố hoặc, nói chung hơn, bởi bất kỳ hàm số đơn điệu có thể quyết định nào f ( n ) sao cho K ( s ) > f ( D ( s ) ) .$D(s)$$K(s)$$f(n)$$K(s) > f(D(s))$

Vì là có thể quyết định, nên có thể chọn (một cách hiệu quả) một chuỗi các chuỗi s n sao cho f ( D ( s n ) ) > v f f ( n ) trong đó v f f là một số "phát triển rất nhanh hàm "chẳng hạn như exp ( exp ( exp ( n ) ) ) .$D(s)$$s_n$$f(D(s_n))> \mathrm{vff}(n)$$\mathrm{vff}$$\exp(\exp(\exp(n)))$

Giả sử rằng chúng ta có , tức là độ phức tạp Kolmogorov của chuỗi s ( n ) tăng nhanh với n . Nhưng chỉ số n cũng xác định chuỗi s ( n ) và do đó, có thể được coi là giới hạn trên của K $K(s_n) > \mathrm{vff}(n)$$s(n)$$n$$n$$s(n)$ (với một số dịch chuyển const). Bất kỳ số n chỉ cần đăng nhập ( n $K(s_n)$$n$$\log(n)$bit để biểu diễn nó, và điều này mâu thuẫn với độ phức tạp tăng nhanh của .$K(s_n)$

Như vậy đối với bất kỳ decidable đơn điệu vô biên số chức năng , tồn tại chuỗi s mà K ( s ) ≯ f ( D ( s ) ) .$f$$s$$K(s) \not> f(D(s))$

Tính không linh hoạt của KC nói chung là hậu quả của tính không ổn định của vấn đề tạm dừng đối với loại máy được sử dụng cho KC. Nếu chúng ta có thể quyết định vấn đề tạm dừng đối với lớp máy thì chúng ta có thể tính KC của một chuỗi đã cho theo chúng. Chỉ cần chạy tất cả các cặp máy và đầu vào tạm dừng đến cặp đầu tiên xuất ra$x$