Những thứ bậc và / hoặc định lý phân cấp nào bạn biết?

42

Tôi hiện đang viết một cuộc khảo sát về các định lý phân cấp trên TCS. Tìm kiếm các tài liệu liên quan tôi nhận thấy rằng hệ thống phân cấp là một khái niệm cơ bản không chỉ trong TCS và toán học, mà trong nhiều ngành khoa học, từ thần học và xã hội học đến sinh học và hóa học. Thấy rằng lượng thông tin rất lớn, tôi hy vọng rằng tôi có thể yêu cầu sự giúp đỡ của cộng đồng này. Tất nhiên, tôi không muốn bạn thực hiện tìm kiếm thư mục cho tôi, nhưng tôi đang yêu cầu hai loại thông tin:

Các định lý phân cấp và phân cấp là kết quả của công việc của bạn hoặc công việc của đồng nghiệp hoặc những người khác mà bạn quen thuộc và bạn nghĩ rằng điều đó không được biết đến nhiều. Ví dụ, đây có thể là một định lý phân cấp cho một mô hình tính toán tối nghĩa mà bạn quan tâm hoặc một hệ thống phân cấp của các lớp cụ thể, ví dụ như liên quan đến lý thuyết trò chơi.
Các định lý phân cấp và phân cấp mà bạn cho là hoàn toàn cần thiết để được đưa vào một cuộc khảo sát thuộc loại này. Điều này có thể đã được biết đến với tôi rồi, nhưng sẽ hữu ích khi xem thứ bậc nào bạn cho là quan trọng hơn và tại sao. Đây có thể là loại "Tôi coi rất quan trọng vì nếu không có nó, chúng tôi sẽ không thể thực hiện loại nghiên cứu này" hoặc "Mặc dù không được biết đến nhiều, nhưng trong TCS dựa trên logic, chúng tôi liên tục sử dụng hệ thống phân cấp này và tôi cho rằng nó là một công cụ quan trọng. " . Và vâng tôi tin rằng những người từ logic có rất nhiều thứ bậc để đề cập, tuy nhiên hãy nhớ rằng chúng ta đang nói về thứ bậc của các vấn đề. $PH$

Tôi sẽ giữ một danh sách cập nhật ở đây:

$DTIME$ Phân cấp
$NTIME$ Hệ thống phân cấp
$SPACE$ Phân cấp
Phân cấp số học (còn được gọi là Kleene)
Phân cấp siêu đối xứng
Phân cấp phân tích
Hệ thống phân cấp Chomsky
Hệ thống phân cấp Grzegorchot và các hệ thống liên quan: Hệ thống phân cấp Wainer (tăng trưởng nhanh), phân cấp Hardy
(tăng trưởng chậm) và phân cấp Veblen
Hệ thống phân cấp của Ritchie
Hệ thống phân cấp của Axt (như được định nghĩa trong Axt63 )
Hệ thống phân cấp vòng lặp (được xác định trong MR67 )
$NC$ Phân cấp ( , ) $AC$ $ACC$
Hệ thống phân cấp độ sâu, như được định nghĩa trong Sipser83
Hệ thống phân cấp đa thức ( ) và hệ thống phân cấp Meyer-Stockmeyer kém tinh tế (không phân biệt giữa các lượng tử) $PH$
Exponential Hierarchy ( ) $ELEMENTARY$
$NP$ cấp -Inter liền (định lý của Ladner)
mạnh mẽ (Arthur-Merlin) $AM$
Hệ thống phân cấp (Không tham số cố định không tham số) và phân cấp W thay thế liên quan ( -hierarchy) và -hierarchy (W với độ sâu phụ thuộc tham số) $W$ $AW$ $W^{*}$
Đếm thứ bậc
Phân cấp Fourier
Phân cấp Boolean (trên ), cũng bằng Phân cấp truy vấn (trên ) $NP$ $NP$
Hệ thống phân cấp để thử nghiệm tài sản, như đã thấy trong GoldreichKNR09
Hệ thống phân cấp độ sâu của các ngôn ngữ thông thường không có sao
$BP_{d}(P)$ : Các lớp có thể giải quyết được bằng các chương trình phân nhánh kích thước đa thức, với điều kiện bổ sung rằng mỗi bit của đầu vào được kiểm tra nhiều nhất là d, tạo thành một hệ thống phân cấp cho các giá trị khác nhau của $d$
Hệ thống phân cấp thời gian cho độ phức tạp của mạch
Hệ thống phân cấp đa thức trong độ phức tạp trong giao tiếp

Lưu ý: Nếu bạn không muốn được đề cập riêng, hãy nói như vậy. Theo nguyên tắc thông thường, tôi sẽ đề cập đến cả cộng đồng và cũng là người cụ thể đưa thông tin mới ra ánh sáng.

— chazisop
nguồn

2

Điều này trông rất giống một câu hỏi Wiki cộng đồng. Tôi sẽ chuyển đổi nó?

— Dave Clarke

Định lý Ladner có thể được khái quát hóa để có được hệ thống phân cấp vô hạn giữa các lớp khác (giả sử họ là khác nhau) như giữa P và P ^ # P .

— Tyson Williams

13

Bạn cũng có thể đề cập đến các định lý "chống phân cấp", nghĩa là các định lý phân đôi. Các định lý lưỡng phân có lẽ có thể có được một cuộc khảo sát cho chính họ, nhưng có lẽ ít nhất chúng nên được đề cập cùng với một cái gì đó như Định lý Ladner.

— Joshua Grochow

1

Bạn chỉ hỏi về thứ bậc của các lớp vấn đề? Ngoài ra còn có khái niệm "phân cấp các bài kiểm tra", xem arxiv.org/abs/quant-ph/0308032 , ví dụ.

— Alessandro Cosentino

1

Có, chỉ phân cấp lớp phức tạp được xem xét. Thậm chí giới hạn trong số đó, có khá nhiều thông tin để thu thập thông tin.

— chazisop

21

Hệ thống phân cấp Fourier như được định nghĩa trong " Yaoyun Shi, lượng tử và sự đánh đổi cổ điển ."

Từ sở thú phức tạp :

$\mathsf{FH}_k$ là lớp các vấn đề có thể giải quyết được bởi một họ các mạch lượng tử kích thước đa thức, với các cấp của cổng Hadamard và tất cả các cổng khác bảo toàn cơ sở tính toán. $k$

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ chứa bao thanh toán vì thuật toán ước tính pha của Kitaev .

Đây là một vấn đề mở để chỉ ra rằng hệ thống phân cấp Fourier là vô hạn liên quan đến một lời sấm truyền (nghĩa là được chứa trong ). $\mathsf{FH}_k$ $\mathsf{FH}_{k+1}$

— Robin Kothari
nguồn

18

- Dọc theo dòng "chống phân cấp", định lý khoảng cách của Borodin có thể đáng được đề cập.

Định lý. Với mỗi hàm tổng có thể tính toán sao cho , có tổng số tính toán sao cho . $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

Điều này sẽ mâu thuẫn với định lý phân cấp thời gian ngoại trừ không thể xây dựng được thời gian (thực sự đây là lý do tại sao chúng ta phải có các giả định về khả năng xây dựng trong các phát biểu của hầu hết các hệ thống phân cấp phức tạp). $g$

- Ngoài ra còn có các tăng cường thú vị của hệ thống phân cấp thời gian thông thường, chẳng hạn như:

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

(có những vấn đề về thời gian không thể giải quyết thành công bất cứ lúc nào cỗ máy thời gian sử dụng bit lời khuyên, ngay cả đối với chỉ vô số độ dài đầu vào). Bằng chứng rất dễ dàng: hãy để liệt kê các cỗ máy thời gian lấy bit lời khuyên làm đầu vào thứ hai. Xác định chia thành trong đó, chạy và đưa ra câu trả lời ngược lại. Sau đó . $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

- Việc thiếu hệ thống phân cấp thời gian đã biết trong các tình huống nhất định nên được xem xét (như các vấn đề mở). Ví dụ: là ? ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— Ryan Williams
nguồn

2

Có phải ? mặt khác, câu lệnh không thú vị: chỉ cần chọn .

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— Sasho Nikolov

@Sasho, nó xuất hiện như vậy. Phát biểu của định lý khoảng cách Borodin (thông qua liên kết) nói càng nhiều.

— Daniel Apon

16

Sở thú phức tạp cung cấp cho bạn một số thứ bậc . Trong số đó, Phân cấp đếm và Phân cấp Boolean chưa được trích dẫn.

[EDIT] Để làm cho câu trả lời của tôi có nhiều thông tin hơn, một định nghĩa nhanh về Phân cấp đếm.

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

Sau đó, đối với hệ thống phân cấp đa thức, được định nghĩa là . $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

Hệ thống phân cấp đếm được xác định bởi Wagner [Wag86]. Liên kết đến lý thuyết về mạch ngưỡng được phát hiện bởi Allender & Wagner [AW93]. Gần đây hơn, Bürgisser [Bür09] cũng đã sử dụng hệ thống phân cấp đếm để liên kết mô hình của Valiant với -conjecture của Shub và Smale. Cụ thể, ông đã chứng minh rằng -conjecture ngụ ý một siêu đa thức giới hạn dưới cho vĩnh viễn. $\tau$ $\tau$

[Wag86] KW Wagner. Sự phức tạp của các vấn đề tổ hợp với biểu diễn đầu vào cô đọng . Acta Mathematica 23 (3), 325-356, 1986.
[AW93] E. Allender & KW Wagner. Đếm thứ bậc: thời gian đa thức và mạch có độ sâu không đổi . Xu hướng hiện nay trong khoa học máy tính , 469-483, 1993.
[Bür09] P. Bürgisser. Về việc xác định số nguyên và chứng minh mạch số học giới hạn dưới . Độ phức tạp tính toán 18 (1), 81-103, 2009.

— Bruno
nguồn

16

Goldreich và cộng sự al. có định lý phân cấp để kiểm tra tài sản:

Oded Goldreich, Michael Krivelevich, Ilan Newman, Eyal Rozenberg: Định lý phân cấp cho thử nghiệm tài sản. Kiểm tra tài sản , Ghi chú bài giảng Khoa học máy tính, Tập. 6390, trang 289-294, Springer, 2010.

Cũng trên ECCC .

— Yonatan
nguồn

ở đây người ta chỉ ra rằng hầu hết các thuộc tính đều yêu cầu truy vấn trong mô hình lượng tử. Điều này có thể được cắm vào bằng chứng của định lý phân cấp của câu trả lời để cho thấy rằng nó cũng được dùng để kiểm tra tính chất lượng tử. (Trong thực tế đối với bất kỳ mô hình tính toán tự nhiên nào có ít nhất một thuộc tính yêu cầu truy vấn để kiểm tra và bất kỳ tính toán nào bạn có thể kiểm tra được truy vấn).

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— Artem Kaznatcheev

15

Sipser cho thấy hệ thống phân cấp độ sâu trong , nghĩa là các mạch độ sâu có kích thước poly mạnh hơn các mạch độ sâu có kích thước poly: $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser, M. Borel thiết lập và độ phức tạp của mạch . STOC 1983.

— Joshua Grochow
nguồn

11

Dieter van Melkebeek và các đồng tác giả có hệ thống phân cấp thời gian và không gian cho các mô hình ngữ nghĩa với lời khuyên, bao gồm cả ngẫu nhiên.

Dieter van Melkebeek, Konstantin Pervyshev: Một hệ thống phân cấp thời gian chung với một lời khuyên . Độ phức tạp tính toán 16 (2): 139-179 (2007)
Jeff Kinne, Dieter van Melkebeek: Kết quả phân cấp không gian cho các mô hình ngẫu nhiên và ngữ nghĩa khác . Độ phức tạp tính toán 19 (3): 423-475 (2010)

— Tyson Williams
nguồn

10

Dưới đây là nhiều thứ bậc hơn cho các lớp ngữ nghĩa với lời khuyên. Cụ thể, đối với ZPTIME và RTIME.

Lance Fortnow, Rahul Santhanam, Luca Trevisan. Hệ thống phân cấp cho các trường hợp ngữ nghĩa . Trong STOC'05.

— Marcos Villagra
nguồn

10

Có hệ thống phân cấp Trịnh-Weihrauch cho các số thực

X. Trịnh và K. Weihrauch. Hệ thống phân cấp số học của số thực . Toán học logic hàng quý.Vol. 47 (2001), số 51 - 65.

— Người nào
nguồn

9

Có một lớp , được định nghĩa trong một bài báo năm 1975 của L. Adelman và K. Manders, đó là một chất tương tự diophantine của lớp . Một ngôn ngữ được chứa trong iff tồn tại một đa thức sao cho Liệu bằng là một vấn đề mở. Sự bình đẳng này sẽ cho thấy các kết nối giữa lý thuyết số và khoa học máy tính. $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

Có một sự tương tự diophantine của hệ thống phân cấp đa thức, được gọi là "hệ thống phân cấp diophantine". Các hệ thống phân cấp đa thức và diophantine được đan xen:

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Alexander Knop
nguồn

Bạn có nghĩa là doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9 hoặc doi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13 ?

— András Salamon

D

$D$ được định nghĩa trong phần thứ hai ("Độ phức tạp Diophantine").

— GMB

@ AndrásSalamon Liên kết dường như không hoạt động.

8

Một hệ thống phân cấp nghiêm ngặt khác: các chương trình phân nhánh chỉ kiểm tra mỗi bit một số lần giới hạn. Càng nhiều thử nghiệm được cho phép, lớp chương trình phân nhánh càng lớn. Thông thường các chương trình phân nhánh cũng bị giới hạn ở kích thước đa thức. BP _d (P) là lớp chương trình phân nhánh kích thước đa thức có thể kiểm tra từng bit lên đến lần. $d$

L / poly là sự kết hợp của HA _d (P) trên tất cả d , trong khi BP _d-1 (P) BP _d (P) cho mọi d . $\subsetneq$

— András Salamon
nguồn

8

Trong lý thuyết phức tạp được tham số hóa, có một số hệ thống phân cấp mặc dù chỉ có -hierarchy đã được đề cập thường xuất hiện trong các ấn phẩm. Những kẻ khác là: $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ -hierarchy
$\mathsf{AW}$ -hierarchy
$\mathsf{EW}$ -hierarchy
$\mathsf{LOG}$ -hierarchy
$\mathsf{M}$ -hierarchy
$\mathsf{S}$ -hierarchy
$\mathsf{W^∗}$ -hierarchy
$\mathsf{W^{func}}$ -hierarchy

Tất cả đều được mô tả trong lý thuyết phức tạp Parameterized, Flum và Grohe, Birkhäuser, 2006 .

— Martin Lackner
nguồn

7

Không chắc điều này có phù hợp với tiêu chí của bạn không, nhưng có sự phân cấp độ sâu của các ngôn ngữ thông thường không có sao.

— mẹ ơi
nguồn

6

Hệ thống phân cấp cho kích thước mạch, xem câu hỏi trước .

— Emanuele Viola
nguồn

5

Lý thuyết về ngôn ngữ thông thường của cây vô hạn đã tạo ra một số hệ thống phân cấp, hiện đang được nghiên cứu, với nhiều câu hỏi vẫn còn bỏ ngỏ.

Khi sử dụng automata trên cây vô hạn, điều kiện chẵn lẻ (hoặc điều kiện Mostowski) được đặc biệt quan tâm, bởi vì automata chẵn lẻ không xác định có thể diễn đạt tất cả các ngôn ngữ thông thường của cây vô hạn và cấu trúc của điều kiện chấp nhận đơn giản hơn các ngôn ngữ khác như Rabin hoặc Müller .

Mỗi automaton chẵn lẻ có một thứ hạng trong đó và , mô tả cấu trúc của điều kiện chấp nhận. Do đó, nếu một ngôn ngữ có thể được nhận dạng bởi một máy tự động (det / ND / alt) có thứ hạng thì chúng ta nói rằng thuộc về -level của (tương ứng): $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

hệ thống phân cấp Mostowski xác định (không phải tất cả các ngôn ngữ thông thường)
hệ thống phân cấp Mostowski không điều kiện
phân cấp Mostowski xen kẽ

Cấp độ của hệ thống phân cấp xen kẽ (nghĩa là là cả Büchi và co-Büchi có thể xác định) tương ứng với cấp độ yếu và được đặc trưng bởi automata xen kẽ yếu, khiến chúng tăng lên một hệ thống phân cấp: $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

hệ thống phân cấp chỉ mục yếu (không phải tất cả các ngôn ngữ thông thường)

Đối với tất cả các hệ thống phân cấp này (ngoại trừ phân cấp xác định), tính quyết định của tư cách thành viên ở cấp độ cho một ngôn ngữ thông thường là một vấn đề mở. Các liên kết giữa các hệ thống phân cấp và phân loại tô pô (còn được gọi là phân cấp Wadge và phân cấp Borel) cũng đặt ra một số vấn đề mở. Chẳng hạn, người ta phỏng đoán rằng hệ thống phân cấp chỉ số yếu và hệ thống phân cấp Borel trùng khớp. Tất cả các hệ thống phân cấp này được biết là nghiêm ngặt và một số trường hợp đặc biệt quyết định cấp độ (đặc biệt là cấp độ thấp hoặc với máy tự động xác định đầu vào) đã được giải quyết gần đây. $L$

— dkuper
nguồn

4

Có sự phân cấp trong độ phức tạp bằng chứng mệnh đề tương tự như độ phức tạp của mạch. Ví dụ: hệ thống mái đề xuất tương tự như , hệ thống chứng minh C-Frege cho tương tự như các lớp phức tạp mạch , v.v. $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

Ngoài ra còn có hệ thống phân cấp trong các trường đại học giới hạn, ví dụ: , v.v. $\mathsf{S^i_j}$

— Kaveh
nguồn

4

Đây là một hệ thống phân cấp mới cho các ngôn ngữ không ngữ cảnh của Tomoyuki Yamakami.

Ông giới thiệu một cơ chế tiên tri trong automata đẩy xuống không điều kiện và các khái niệm về Turing và giảm thiểu nhiều người. Sau đó, một hệ thống phân cấp mới được xây dựng cho các ngôn ngữ không có ngữ cảnh (CFL) tương tự như hệ thống phân cấp đa thức. Ví dụ: , , v.v ... Phần thú vị của tất cả những điều này là sự sụp đổ trong hệ thống phân cấp CFL xảy ra khi và chỉ khi hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ. $CFL$ $CFL^{CFL}$

— Marcos Villagra
nguồn

3

Xây dựng trên một trong những gạch đầu dòng được OP đề cập (GoldreichKNR09): có một số định lý phân cấp trong kiểm tra thuộc tính và bằng chứng về sự gần gũi, liên quan đến độ phức tạp của truy vấn, khả năng thích ứng hoặc khả năng kiểm tra liên quan đến số vòng (để chứng minh sự gần gũi). Xem, ví dụ,

Các định lý phân cấp để kiểm tra tài sản , Oded Goldreich, Michael KrivelevichIlan Newman và Eyal Rozenberg, 2012. https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [được đề cập bởi OP]
Định lý phân cấp cho bằng chứng tương tác về sự gần gũi, Tom Gur và Ron Rothblum, 2017. http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
Các định lý phân cấp để kiểm tra các thuộc tính trong độ phức tạp của truy vấn không rõ ràng về kích thước , Oded Goldreich, 2018. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
Một định lý phân cấp thích ứng để thử nghiệm thuộc tính , Clément Canonne và Tom Gur, 2018. https://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— Clement C.
nguồn

Con trỏ đến câu trả lời này , tập trung vào câu trả lời đầu tiên (GoldreichKNR09).

— Clement C.

3

Từ câu hỏi này trên cs.stackexchange , tôi đã nhận thức được hệ thống phân cấp của các ngôn ngữ thông thường . Về cơ bản, bạn có thể mô tả các ngôn ngữ thông thường dựa trên bề mặt chi tối thiểu trong đó biểu đồ DFA của chúng có thể được nhúng. Nó được chỉ ra trong [1] rằng tồn tại các ngôn ngữ thuộc chi lớn tùy ý và hệ thống phân cấp này là phù hợp.

Bonfante, Guillaume và Florian Deloup. " Các loại ngôn ngữ thông thường. " Cấu trúc toán học trong Khoa học máy tính 28.1 (2018): 14-44.

— mẹ ơi
nguồn

2

Đếm phân cấp đa thức, viết tắt là #PH. Cấp đầu tiên là #P sau đó #NP ... vv

— Tayfun trả tiền
nguồn

1

Hệ thống phân cấp đa thức về độ phức tạp trong giao tiếp theo định nghĩa của Babai, Frankl và Simon (xem bài viết gốc ở đây và không có tường thành ở đây ). Tầm quan trọng của hệ thống phân cấp này là khó để đánh giá quá cao. Trước hết, chức năng phân biệt được BFS giới thiệu trong cùng một bài viết giới thiệu hệ thống phân cấp và sự phân biệt xuất hiện khá tự nhiên như là một vấn đề hoàn thành coNP . Như bạn đã biết, các disjointness là THE chức năng phức tạp truyền thông. Thứ hai, việc chứng minh các giới hạn thấp hơn chống lại hệ thống phân cấp đa thức trong độ phức tạp trong giao tiếp là một vấn đề mở lớn với ý nghĩa quan trọng trong các lĩnh vực khác của TCS (ví dụ, xem bài viết này và các tài liệu tham khảo ở đó). $^{cc}$

— Denis Pankratov
nguồn

Cảm ơn vì sự bổ sung, tôi đã chỉnh sửa nhận xét của bạn để làm cho coNP rõ ràng đề cập đến sự phức tạp trong giao tiếp (tôi biết điều này thường được bỏ trong cộng đồng phức tạp trong giao tiếp để tránh sự lộn xộn ký hiệu).

— chazisop

1

Hãy xem xét hệ thống phân cấp đa thức không rõ ràng , tham khảo ở đây , tham chiếu ban đầu ở đây cho hệ thống phân cấp đa thức không rõ ràng (paywalled). Trong khi nghiên cứu hệ thống phân cấp Boolean BH và các lớp như có kết quả tốt liên quan đến việc đóng và đặt sự khác biệt, chúng ta có thể khám phá các kết nối để tính toán rõ ràng. $D_{p}$

Khi các tác giả (trong tài liệu tham khảo ban đầu), các lớp và đưa ra kết quả liên quan đến và . Với một mạch không rõ ràng, họ có thể mô tả khác nhau. Ngoài ra, liên quan đến hệ thống phân cấp ở trên là Hệ thống phân cấp rõ ràng hứa hẹn. Kết quả không rõ ràng cho Hệ thống phân cấp đa thức không rõ ràng - "nếu có Bộ hoàn thành Turing thưa thớt được đặt cho , cấu trúc phân cấp sụp đổ xuống các cấp thấp hơn hoặc vào Trường hợp không rõ ràng hứa hẹn". $NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

Liên quan để nghiên cứu thêm về các kết nối Boolean, và đẳng cấu đồ thị là các hệ thống phân cấp thấp và cao , cũng là tài liệu tham khảo wikipedia .

— lượt người dùng3483902
nguồn

0

Thông tin thêm về mặt tối nghĩa: Định lý gia truyền bậc hai của tôi cho logic logic điểm cố định trong lý thuyết mô hình hữu hạn. Xem Định lý phân cấp khác .

— Tối đa Kubierschky
nguồn