Lý do về các vòng lặp không xác định

Đây là câu hỏi "theo dõi B" nếu có. Tóm tắt: điều đầu tiên tôi nghĩ đến khi tôi cố gắng đưa ra một ngữ nghĩa cho các chương trình không xác định sẽ dẫn đến một ngữ nghĩa mà tôi không thể chứng minh những điều về các vòng lặp chỉ chấm dứt tính không xác định. Chắc chắn ai đó đã tìm ra phải làm gì trong tình huống này, hoặc ít nhất chỉ ra rằng điều đó thật khó khăn, nhưng tôi không biết làm thế nào để tìm kiếm nó (do đó là thẻ "yêu cầu tham khảo").

Lý lịch

Tôi muốn mô hình hóa một ngôn ngữ trong khi không xác định. Tôi nghĩ rằng đây là cách rõ ràng (hoặc ít nhất là cách ngây thơ) để mô hình hóa một ngôn ngữ như vậy với tên miền quyền lực Smyth, nhưng hãy sửa tôi nếu tôi sai. Chúng tôi sẽ mô hình ý nghĩa của một câu lệnh trong ngôn ngữ này là như một hàm mà miền là tập hợp $S$ của các quốc gia và có codomain là tập hợp ${\cal P}(S)_\bot = \{ \bot \} \cup {\cal P}(S)$ , nơi $\bot$ là một yếu tố tối thiểu đại diện cho không chấm dứt và ${\cal P}(S)$ là quyền hạn của các quốc gia.

Chúng tôi giải thích các lệnh như bản đồ từ các tiểu bang $\sigma$ cho một trong hai sự kiện không chấm dứt $\bot$ hoặc bộ của các quốc gia $\{ \sigma_1, \sigma_2, \ldots \}$ mà đại diện cho kết quả tốt. $P \circledast Q$ là sự lựa chọn không xác định.

• $⟦\mathbf{skip}⟧\sigma = \{ \sigma \}$
• $⟦x := E⟧\sigma = \{ \sigma[(⟦E⟧\sigma)/x] \}$
• $⟦\mathbf{abort}⟧\sigma = \bot$
• ⟦ E ⟧ σ = t r u e ⟦ Q ⟧ $⟦\mathbf{if}~E~\mathbf{then}~P~\mathbf{else}~Q⟧\sigma = ⟦P⟧\sigma$ nếu , nếu không$⟦E⟧\sigma = \mathit{true}$$⟦Q⟧\sigma$
• $⟦P \circledast Q⟧\sigma = \bot$ nếu hoặc , nếu không thì$⟦P⟧\sigma = \bot$⟦ P ⟧ σ ∪ ⟦ Q ⟧ $⟦Q⟧\sigma = \bot$$⟦P⟧\sigma \cup ⟦Q⟧\sigma$
• ⟦ P ⟧ σ = ⊥ ⟦ Q ⟧ τ = ⊥ τ ∈ ⟦ P ⟧ σ ⋃ τ ∈ ⟦ P ⟧ σ ⟦ Q ⟧ $⟦P; Q⟧\sigma = \bot$ nếu hoặc đối với một số , nếu không$⟦P⟧\sigma = \bot$$⟦Q⟧\tau = \bot$$\tau \in ⟦P⟧\sigma$$\bigcup_{\tau \in ⟦P⟧\sigma} ⟦Q⟧\tau$

Có thứ tự một phần hoàn chỉnh theo chỉ thị , trong đó cho mọi và nếu cả và đều là các tập hợp và và chúng tôi có thể mở rộng hàm này thành các hàm từ đến theo chiều dọc: nếu cho mọi và là chức năng ánh xạ mọi trạng thái tới .⊥ ⊑ S ' S ' ∈ P ( S ) ⊥ S 1 ⊑ S 2 S 1 S 2 S 1 ⊇ S 2 f S P ( S ) ⊥ f 1 ⊑ f 2 f 1 ( σ ) $\sqsubseteq$$\bot \sqsubseteq S'$$S' \in {\cal P}(S)_\bot$$S_1 \sqsubseteq S_2$$S_1$$S_2$$S_1 \supseteq S_2$$f$$S$${\cal P}(S)_\bot$$f_1 \sqsubseteq f_2$σ f ⊥$f_1(\sigma) \sqsubseteq f_2(\sigma)$$\sigma$$f_\bot$$\bot$

Ý nghĩa của một vòng lặp là là giới hạn trên của chuỗi , trong đó if , nếu không nếu hoặc đối với một số , nếu không . (Định nghĩa này giả định rằng tôi vừa xác định là Scott liên tục, nhưng tôi nghĩ an toàn khi để nó qua một bên.)f ⊥ ⊑ f ( f ⊥ ) ⊑ f ( f ( f ⊥ ) ) ⊑ ... f ( g ) ( σ ) = { σ } ⟦ E ⟧ ( σ ) = f một l s e ⊥ ⟦ P ⟧ σ = $⟦\mathbf{while}~E~\mathbf{do}~P⟧\sigma$$f_\bot \sqsubseteq f(f_\bot) \sqsubseteq f(f(f_\bot)) \sqsubseteq \ldots$$f(g)(\sigma) = \{\sigma\}$$⟦E⟧(\sigma) = \mathit{false}$$\bot$$⟦P⟧\sigma = \bot$τ ∈ ⟦ P ⟧ σ ⋃ τ ∈ ⟦ P ⟧ σ g ( τ ) $g(\tau) = \bot$$\tau \in ⟦P⟧\sigma$$\bigcup_{\tau \in ⟦P⟧\sigma}g(\tau)$$f$

Câu hỏi

Hãy xem xét chương trình này:

b : = t r u e ; w h i l e b d $x := 0;$
$b := \mathsf{true};$
$\mathbf{while}~b~\mathbf{do}$
$\qquad x := x + 2;$
$\qquad b := \mathsf{false} \circledast b := \mathsf{true}$

Theo trực giác, đây là một vòng lặp có thể trả về bất kỳ số chẵn dương nào hoặc không chấm dứt và tương ứng với những gì chúng ta có thể chứng minh về vòng lặp này bằng cách sử dụng điều kiện tiên quyết tự do yếu nhất (có thể chỉ ra rằng là một vòng lặp bất biến). Tuy nhiên, vì vòng lặp có khả năng không chấm dứt (chúng ta có thể tinh chỉnh lựa chọn không xác định bởi chương trình luôn lấy nhánh bên phải), ý nghĩa của chương trình này được đưa ra cho bất kỳ trạng thái ban đầu nào là . (Ít thông tin hơn: hàm ánh xạ bất kỳ trạng thái nào trong đó là sai với chính nó và bất kỳ trạng thái nào mà đúng với là một điểm cố định của được sử dụng để xác định vòng lặp.)⊥ b b ⊥ $\exists n. x = 2n$$\bot$$b$$b$$\bot$$f$

Điều này có nghĩa là ngữ nghĩa ngây thơ mà tôi đề xuất không tương ứng theo cách tôi mong đợi có thể suy luận về các chương trình. Tôi đổ lỗi cho ngữ nghĩa của mình, nhưng không làm thế nào để sửa chúng.

Trong [dB80] Phân tích của Hitchcock và Park về các tính chất chấm dứt của đệ quy được chứng minh là tương ứng với phân tích ngữ nghĩa dựa trên cái gọi là giải thích Egli-Milner về các mối quan hệ [Egl75, Plo76], thể hiện tính không điều kiện thất thường . Khái niệm này cho thấy rằng một mối quan hệ không xác định là chính xác nếu nó tạo ra ít nhất một tính toán dẫn đến một kết quả mong muốn (ngay cả khi có sự tính toán không rõ ràng). Điều này dường như tương ứng với những gì bạn đang cố gắng làm.

Tiếp theo mô tả ý nghĩa của câu lệnh là hàm ánh xạ từng trạng thái ban đầu sang một số trạng thái không trống, có thể chứa , do đó rất nghiêm ngặt theo nghĩa . Lựa chọn không xác định giữa các câu lệnh và được mô tả bằng chức năng ánh xạ từng trạng thái ban đầu thành liên kết các kết quả riêng lẻ . Do đó, bất cứ khi nào hoặc$S$$f_S$$\sigma$$\bot$$f_S$$f_S(\bot) = \{\bot\}$$S_1$$S_2$$\sigma$$f_{S_1} (\sigma) \cup f_{S_2} (\sigma)$$S_1$$S_2$có khả năng không điều kiện tạo ra một kết quả không mong muốn, do đó, sự lựa chọn không điều kiện của họ cũng vậy. Khi tập hợp các trạng thái cuối cùng, người ta có được trong phân tích này, cái gọi là quyền hạn Egli-Milner của các trạng thái:

${\cal P}_{\text{E--M}}(S) = \{ ~s\subseteq S_\bot ~|~ s$ là hữu hạn và không trống, hoặc chứa$\bot\}$

Tại sao các tập con vô hạn của không được coi là tập hợp các trạng thái cuối cùng có thể có trong mô hình này? Theo giả định rằng tất cả các khối xây dựng cơ bản của các thuật ngữ quan hệ chỉ tạo ra các tập hợp hữu hạn, không trống của các trạng thái cuối cùng có thể, một tập hợp vô hạn các trạng thái cuối cùng có thể chỉ có thể được tạo ra khi có thể tính toán vô hạn. Điều này có thể được nhìn thấy như sau. Cấu trúc tập hợp tất cả các tính toán có thể bắt đầu ở trạng thái đã cho dưới dạng cây có gốc và trạng thái là các nút. Tập hợp các lá sau đó chính xác là tập hợp các trạng thái cuối cùng có thể truy cập được từ , ngoại trừ$S$$\sigma_0$$\sigma_0$$\sigma_0$$\bot$, có thể bị thiếu trong số các lá nhưng được thể hiện trong tập hợp các trạng thái cuối cùng bởi thực tế là có một con đường vô tận trong cây. Theo giả định ở trên, và vì chỉ có sự lựa chọn không hữu hạn hữu hạn, cây này được phân nhánh một cách hữu hạn. Do đó, chỉ có một số lượng lá hữu hạn ở bất kỳ độ sâu hữu hạn nào. Do đó, một số lượng vô hạn các trạng thái cuối cùng có thể chỉ có thể được tạo ra khi có sự tính toán vô hạn (một ứng dụng bổ đề của König [Kön32]).

$({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$ là một vị trí cho được xác định bởi: cho ,$\sqsubseteq_{\text{E--M}}$$s,t\in{\cal P}_{\text{E--M}}(S)$

$s\sqsubseteq_{\text{E--M}} t\quad = \quad (\bot\in s \land s\setminus\{\bot\}\subseteq t) \lor (\bot\notin s \land s=t)~.$

Ở đây, có thể được xem như một trình giữ chỗ thông qua đó -các tập hợp có thể được tạo bằng cách chèn thêm các trạng thái thay cho . Do đó, là phần tử nhỏ nhất của . Hơn nữa, poset sở hữu Gel cho -chains. Tương tự, các hàm nghiêm ngặt từ đến được sắp xếp một phần bởi phần mở rộng theo chiều dọc của . Hơn nữa, chức năng ít nhất là⊑ $\bot$$\sqsubseteq_{\text{E--M}}${ ⊥ } ( P E - M ( S ) , ⊑ E - M ) ( P E - M ( S ) , ⊑ E - M ) ω S ∪ { ⊥ } P E --M ( S ) ⊑ E - M bước sóng σ . { ⊥ } $\bot$$\{\bot\}$$({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$$({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$$\omega$$S\cup\{\bot\}$${\cal P}_{\text{E--M}}(S)$$\sqsubseteq_{\text{E--M}}$$\lambda\sigma.\{\bot\}$ và lub của -chains các chức năng như vậy tồn tại, quá.$\omega$

[dB80] JW de Bakker. Lý thuyết toán học về tính đúng đắn của chương trình . Hội trường Prentice, 1980.

[Egl75] H Egli. Một mô hình toán học cho các tính toán không phá hủy. Báo cáo kỹ thuật, ETH Zürich, 1975.

[Kön32] D König. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen. Báo cáo kỹ thuật, Leipzig, 1932.

[Plo76] GD Plotkin. Một công trình xây dựng tên miền. Tạp chí SIAM về tính toán , 5 (3): 452-487, 1976.

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: điều này được lấy gần như nguyên văn từ một cuốn sách mà tôi từng là đồng tác giả:

WP de Roever và K Engelhardt. Sàng lọc dữ liệu: Phương pháp chứng minh định hướng mô hình và so sánh chúng . Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 1998.